Найти первообразные: 1) f(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + 4 2) f(x) = x^(1/4) 3) f(x) = x/4 4) f(x) = sqrt[4](x^3) 5) f(x) = 1/x^4 Вычислить: 6) int_1^2 x^4 dx 7) int_1^e 4 * (1/x) dx 8) int_0^(pi/2) (-sin x) dx

Привет! Давай разберемся с твоим заданием по математическому анализу. Для решения будем использовать таблицу первообразных и формулу Ньютона-Лейбница. ### Найти первообразные: 1) $F(x) = \int (x^4 + x^3 + 3x^2 + 4) dx = \frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + x^3 + 4x + C$ 2) $F(x) = \int x^{1/4} dx = \frac{x^{5/4}}{5/4} = \frac{4}{5}x^{5/4} + C = \frac{4}{5}\sqrt[4]{x^5} + C$ 3) $F(x) = \int \frac{x}{4} dx = \frac{1}{4} \int x dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{8} + C$ 4) $F(x) = \int \sqrt[4]{x^3} dx = \int x^{3/4} dx = \frac{x^{7/4}}{7/4} + C = \frac{4}{7}\sqrt[4]{x^7} + C$ 5) $F(x) = \int \frac{1}{x^4} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$ ### Вычислить: 6) $\int_1^2 x^4 dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_1^2 = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5} = 6,2$ 7) $\int_1^e 4 \cdot \frac{1}{x} dx = 4 \ln|x| \Big|_1^e = 4(\ln e - \ln 1) = 4(1 - 0) = 4$ 8) $\int_0^{\pi/2} (-\sin x) dx = \cos x \Big|_0^{\pi/2} = \cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(0) = 0 - 1 = -1$