1.Случайная величина X задана законом распределения.

### Решение задачи 1 Для дискретной случайной величины сумма всех вероятностей должна быть равна 1: $0,2 + 0,4 + 0,1 + p_4 = 1$ $0,7 + p_4 = 1$ $p_4 = 1 - 0,7 = 0,3$ ### Решение задачи 2 1. Математическое ожидание $M(X)$: $M(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3p_3 + x_4p_4$ $M(X) = (-2 \cdot 0,1) + (1 \cdot 0,3) + (3 \cdot 0,4) + (5 \cdot 0,2) = -0,2 + 0,3 + 1,2 + 1,0 = 2,3$ 2. Дисперсия $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$: $M(X^2) = (-2)^2 \cdot 0,1 + 1^2 \cdot 0,3 + 3^2 \cdot 0,4 + 5^2 \cdot 0,2$ $M(X^2) = 4 \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,3 + 9 \cdot 0,4 + 25 \cdot 0,2 = 0,4 + 0,3 + 3,6 + 5,0 = 9,3$ $D(X) = 9,3 - (2,3)^2 = 9,3 - 5,29 = 4,01$ 3. Среднее квадратичное отклонение $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$: $\sigma(X) = \sqrt{4,01} \approx 2,0025$ ### Решение задачи 3 $n=3$ измерения. Вероятность успеха (измерение без погрешности) $p = 1 - 0,3 = 0,7$. Вероятность неудачи (с погрешностью) $q = 0,3$. Распределение числа $X$ (успехов): - $P(X=0) = C_3^0 \cdot 0,7^0 \cdot 0,3^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,027 = 0,027$ - $P(X=1) = C_3^1 \cdot 0,7^1 \cdot 0,3^2 = 3 \cdot 0,7 \cdot 0,09 = 0,189$ - $P(X=2) = C_3^2 \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^1 = 3 \cdot 0,49 \cdot 0,3 = 0,441$ - $P(X=3) = C_3^3 \cdot 0,7^3 \cdot 0,3^0 = 1 \cdot 0,343 \cdot 1 = 0,343$ Таблица распределения: | X | 0 | 1 | 2 | 3 | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | p | 0,027 | 0,189 | 0,441 | 0,343 | ### Решение задачи 4 $n=4$, $p=0,9$, $q=0,1$. Используем формулу Бернулли: - $P(X=0) = C_4^0 \cdot 0,9^0 \cdot 0,1^4 = 0,0001$ - $P(X=1) = C_4^1 \cdot 0,9^1 \cdot 0,1^3 = 4 \cdot 0,9 \cdot 0,001 = 0,0036$ - $P(X=2) = C_4^2 \cdot 0,9^2 \cdot 0,1^2 = 6 \cdot 0,81 \cdot 0,01 = 0,0486$ - $P(X=3) = C_4^3 \cdot 0,9^3 \cdot 0,1^1 = 4 \cdot 0,729 \cdot 0,1 = 0,2916$ - $P(X=4) = C_4^4 \cdot 0,9^4 \cdot 0,1^0 = 1 \cdot 0,6561 \cdot 1 = 0,6561$ Многоугольники распределения для всех задач строятся как график зависимости вероятности $p$ от значения $X$ (точки соединяются отрезками). :::div .chart-container @chart-1:::