1) Найдите корень уравнения

Решение уравнений и неравенств: ### 1. Найдите корень уравнения 1) $5^{x-7} = \frac{1}{125}$ $5^{x-7} = 5^{-3}$ $x - 7 = -3$ $x = 4$ **Ответ: 4** 2) $(\frac{1}{3})^{x-9} = \frac{1}{81}$ $(\frac{1}{3})^{x-9} = (\frac{1}{3})^4$ $x - 9 = 4$ $x = 13$ **Ответ: 13** 3) $\log_5(5 - x) = \log_5 3$ ОДЗ: $5 - x > 0 \Rightarrow x < 5$ $5 - x = 3$ $x = 2$ **Ответ: 2** 4) $\log_{0,5}(x^2 + x) = -1$ ОДЗ: $x^2 + x > 0 \Rightarrow x(x+1) > 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$ $x^2 + x = (0,5)^{-1}$ $x^2 + x = 2$ $x^2 + x - 2 = 0$ $(x + 2)(x - 1) = 0$ $x_1 = -2, x_2 = 1$ Оба корня входят в ОДЗ. **Ответ: -2; 1** 5) $2\sin(x + \frac{\pi}{5}) = \sqrt{2}$ $\sin(x + \frac{\pi}{5}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $x + \frac{\pi}{5} = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x = (-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $(-1)^k \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{5} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$** 6) $5\cos^2 x + 2\cos x - 7 = 0$ Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$ $5t^2 + 2t - 7 = 0$ $D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 4 + 140 = 144 = 12^2$ $t_1 = \frac{-2 + 12}{10} = 1$; $t_2 = \frac{-2 - 12}{10} = -1,4$ (не подходит, так как $|t| \le 1$) $\cos x = 1$ $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$** ### 2. Решите неравенство 1) $(\frac{1}{5})^{2x+1} \le 1$ $(\frac{1}{5})^{2x+1} \le (\frac{1}{5})^0$ Так как основание $0 < \frac{1}{5} < 1$, знак неравенства меняется: $2x + 1 \ge 0$ $2x \ge -1$ $x \ge -0,5$ **Ответ: $[-0,5; +\infty)$** 2) $\log_4(x+5) \ge 3$ ОДЗ: $x+5 > 0 \Rightarrow x > -5$ $x + 5 \ge 4^3$ $x + 5 \ge 64$ $x \ge 59$ **Ответ: $[59; +\infty)$**