1. Найдите производные следующих функций: y = 4x^3 + 1/2x^2 + 3; y = 1/5x^5 + 1/4x^4 - 3x^2 + 9; y = (2x^3 - 3)(2x^3 - 1)

Привет! Давай решим задания на нахождение производных. Напоминаю формулы: $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(uv)' = u'v + uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. ### 1. Найдите производные 1) $y = 4x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 3$ $y' = 12x^2 + x$ 2) $y = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 + 9$ $y' = x^4 + x^3 - 6x$ 3) $y = (2x^3 - 3)(2x^3 - 1)$ Раскроем скобки: $y = 4x^6 - 2x^3 - 6x^3 + 3 = 4x^6 - 8x^3 + 3$ $y' = 24x^5 - 24x^2$ ### 2. Найдите производные 1) $y = \frac{x+5}{x-1}$ $y' = \frac{1 \cdot (x-1) - (x+5) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-5}{(x-1)^2} = \frac{-6}{(x-1)^2}$ 2) $y = \frac{3x-7}{2x+9}$ $y' = \frac{3(2x+9) - (3x-7)2}{(2x+9)^2} = \frac{6x+27 - 6x+14}{(2x+9)^2} = \frac{41}{(2x+9)^2}$ 3) $y = \frac{(x-3)^2}{2x+1}$ $y' = \frac{2(x-3)(2x+1) - (x-3)^2 \cdot 2}{(2x+1)^2} = \frac{2(x-3)(2x+1 - (x-3))}{(2x+1)^2} = \frac{2(x-3)(x+4)}{(2x+1)^2} = \frac{2(x^2+x-12)}{(2x+1)^2}$ 4) $y = \frac{x^3+3x^2}{3x-1}$ $y' = \frac{(3x^2+6x)(3x-1) - (x^3+3x^2)3}{(3x-1)^2} = \frac{9x^3-3x^2+18x^2-6x - 3x^3-9x^2}{(3x-1)^2} = \frac{6x^3+6x^2-6x}{(3x-1)^2}$ 5) $y = \frac{3x^2-2x-4}{2x-1}$ $y' = \frac{(6x-2)(2x-1) - (3x^2-2x-4)2}{(2x-1)^2} = \frac{12x^2-6x-4x+2 - 6x^2+4x+8}{(2x-1)^2} = \frac{6x^2-6x+10}{(2x-1)^2}$ ### 3. Значение производной $y = x^4 - 3x^2 - 2x + 1$ $y' = 4x^3 - 6x - 2$ $y'(0) = 4(0)^3 - 6(0) - 2 = -2$ $y'(1) = 4(1)^3 - 6(1) - 2 = 4 - 6 - 2 = -4$ ### 4. Значение производной $y = x^5 + x^4 + 5^3 = x^5 + x^4 + 125$ $y' = 5x^4 + 4x^3$ $y'(-1) = 5(-1)^4 + 4(-1)^3 = 5(1) + 4(-1) = 5 - 4 = 1$ ### 5. Найдите производную 1) $y = 5(3t^5 - 5t^3 + 9)^{10}$ $y' = 5 \cdot 10(3t^5 - 5t^3 + 9)^9 \cdot (15t^4 - 15t^2) = 50(3t^5 - 5t^3 + 9)^9 \cdot 15t^2(t^2-1) = 750t^2(t^2-1)(3t^5 - 5t^3 + 9)^9$ 2) $y = 2\sqrt{1+2x-x^2}$ $y' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1+2x-x^2}} \cdot (1+2x-x^2)' = \frac{2-2x}{\sqrt{1+2x-x^2}}$ ### 6. Найдите производные 1) $y = e^{-x}$ $y' = -e^{-x}$ 2) $y = e^{-x}(x^2+6x+6)$ $y' = -e^{-x}(x^2+6x+6) + e^{-x}(2x+6) = e^{-x}(-x^2-6x-6 + 2x+6) = e^{-x}(-x^2-4x) = -x(x+4)e^{-x}$ ### 7. Найдите производные 1) $y = \ln 3x$ $y' = \frac{1}{3x} \cdot 3 = \frac{1}{x}$ 2) $y = \log_3(4x-2)$ $y' = \frac{1}{(4x-2)\ln 3} \cdot 4 = \frac{2}{(2x-1)\ln 3}$ ### 8. Найдите производные 1) $y = 7\cos x - 5\sin x - 9$ $y' = -7\sin x - 5\cos x$ 2) $y = 5\cos 2x$ $y' = 5(-\sin 2x) \cdot 2 = -10\sin 2x$ 3) $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ $y' = \frac{1}{2}\cos 2x \cdot 2 = \cos 2x$