Самостоятельная работа по теме Тригонометрические уравнения и неравенства

Давай решим эти тригонометрические уравнения по порядку: а) $\sin(3x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $3x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $3x = (-1)^n \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + \pi n$ $x = (-1)^n \frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$ б) $\cos(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$ $\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ $x = \frac{3\pi}{4} \pm 2\pi + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$ в) $\tan(x + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ $x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ г) $\cos 3x = -\frac{5}{3}$ Так как $|\cos 3x| \le 1$, а $|-\frac{5}{3}| > 1$, уравнение корней не имеет. д) $\sin(4x - \frac{\pi}{3}) = 0$ $4x - \frac{\pi}{3} = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $4x = \frac{\pi}{3} + \pi n$ $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$ е) $\tan(2x - \frac{\pi}{6}) = -1$ $2x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + \pi n$ $2x = -\frac{\pi}{12} + \pi n$ $x = -\frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$ ж) $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$. Получим: $2t^2 + t - 1 = 0$. Корни уравнения: $t_1 = -1, t_2 = \frac{1}{2}$. 1) $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ з) $\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = 0$ $\sin x (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0$ 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 \Rightarrow \tan x = \sqrt{3}$ $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$