1. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 стороны а=8см, b=9см, с=12см и В1Д – диагональ. Найти диагональ, площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда.

Для решения задач по геометрии используем формулы: 1. **Прямоугольный параллелепипед ($a=8$ см, $b=9$ см, $c=12$ см): - Диагональ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{8^2 + 9^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 81 + 144} = \sqrt{289} = 17$ см. - Площадь полной поверхности $S = 2(ab + bc + ac) = 2(8\cdot 9 + 9\cdot 12 + 8\cdot 12) = 2(72 + 108 + 96) = 2(276) = 552$ см$^2$. - Объем $V = a \cdot b \cdot c = 8 \cdot 9 \cdot 12 = 864$ см$^3$. 2. **Куб (диагональ $d=4\sqrt{3}$ см): - У куба со стороной $a$ диагональ $d = a\sqrt{3}$. Значит, $a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$, откуда $a=4$ см. - Полная поверхность $S = 6a^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96$ см$^2$. - Объем $V = a^3 = 4^3 = 64$ см$^3$. 3. **Куб (площадь полной поверхности $S=24$ см$^2$): - $S = 6a^2 = 24 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a=2$ см. - Диагональ $d = a\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см. - Объем $V = a^3 = 2^3 = 8$ см$^3$. 4. **Прямая треугольная призма (основание — треугольник со сторонами $a=10$ см, $b=10$ см, $c=12$ см, высота $h=20$ см): - Полупериметр $p = \frac{10+10+12}{2} = 16$ см. - Площадь основания (по формуле Герона): $S_{осн} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{16 \cdot 36 \cdot 4} = 4 \cdot 6 \cdot 2 = 48$ см$^2$. - Объем $V = S_{осн} \cdot h = 48 \cdot 20 = 960$ см$^3$. 5. **Прямоугольный параллелепипед (высота $H=12$ см, стороны основания $8$ см и $6$ см): - Диагональное сечение — прямоугольник со сторонами $H=12$ см и диагональю основания $d_{осн}$. - $d_{осн} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ см. - Площадь диагонального сечения $S_{сеч} = d_{осн} \cdot H = 10 \cdot 12 = 120$ см$^2$.