1. (4 балла) Вычислите:

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по математике. ### Часть 1 **1. Вычисления:** 1) $b^3 \cdot \frac{1}{b^2} + 3b = b + 3b = 4b$ 2) $7^{2\log_7 3} = 7^{\log_7 3^2} = 7^{\log_7 9} = 9$ 3) $\sqrt[3]{27 \cdot 64} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{64} = 3 \cdot 4 = 12$ 4) $3 \cdot \frac{\pi}{3} - 8 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi - 2\pi = -\pi$ **2. Решение уравнений:** 1) $\sqrt{x^2 - x - 2} = x$. Возводим в квадрат ($x \ge 0$): $x^2 - x - 2 = x^2 \Rightarrow -x - 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Число $-2 < 0$, значит корней нет. 2) $\tan x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. 3) $32^{3+2x} = \frac{1}{4} \Rightarrow (2^5)^{3+2x} = 2^{-2} \Rightarrow 15 + 10x = -2 \Rightarrow 10x = -17 \Rightarrow x = -1.7$. 4) $\log_4(2x+3) = 3 \Rightarrow 2x+3 = 4^3 = 64 \Rightarrow 2x = 61 \Rightarrow x = 30.5$. **3. Решение неравенств:** 1) $\log_3(x-2) < 2$. ОДЗ: $x > 2$. $x-2 < 9 \Rightarrow x < 11$. Ответ: $x \in (2; 11)$. 2) $(3x-6)(5-x) \ge 0$. Корни $2$ и $5$. Ветви вниз, больше нуля между корнями: $x \in [2; 5]$. 3) $0.1^{3+x} \le 0.1^3$. Основание $< 1$, знак меняем: $3+x \ge 3 \Rightarrow x \ge 0$. **4. Конус:** 1. Высота: отрезок $PO$. 2. Образующая: отрезок $PA$. 3. Радиус: отрезок $OA$ (или $OB$). 4. $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 32\pi \approx 100.53 \text{ см}^3$. **5. Производные:** 1) $f'(x) = e^x - 6x^2$. 2) $f'(x) = (x^4)' \ln x + x^4 (\ln x)' = 4x^3 \ln x + x^3$. **6. Первообразные:** 1) $F(x) = \frac{5^x}{\ln 5} - x^2 + C$. 2) $F(x) = 2 \tan x - 6x + C$. **7. Задача:** Риса: $900 / 40 = 22.5$ порции. Молока: $3 / 0.12 = 25$ порций. Максимальное количество порций ограничено рисом: **22 порции**. ### Часть 2 **8. Пирамида:** Гипотенуза $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$. Высота пирамиды $H = 10$ падает в середину гипотенузы. Расстояние от середины гипотенузы до всех вершин основания равно $5$. Боковые ребра $L = \sqrt{H^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$. **9. Конус:** Пусть $R$ — радиус, $L$ — образующая. $R^2 + 20^2 = L^2$. Высота треугольника (сечения) к образующей равна 12: $\frac{R \cdot 20}{L} = 12 \Rightarrow 5R = 3L \Rightarrow L = \frac{5}{3}R$. Подставляем в Пифагор: $R^2 + 400 = \frac{25}{9}R^2 \Rightarrow \frac{16}{9}R^2 = 400 \Rightarrow R^2 = 225 \Rightarrow R=15$. $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 225 \cdot 20 = 1500\pi$. **10. Уравнение:** $2 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot 2^x - 4 = 0$. Пусть $t = 2^x$. $2t^2 - 7t - 4 = 0$. $D = 49 - 4(2)(-4) = 81$. $t = \frac{7 \pm 9}{4}$. $t=4$ ($x=2$) или $t=-0.5$ (нет решений). Ответ: $x=2$. **11. Площадь:** $\int_0^6 (6x - x^2) dx = [3x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^6 = (3 \cdot 36 - 72) - 0 = 108 - 72 = 36$.