Постройте график функции y = {x^2 + 6x + 11 при x >= -4, -16/x при x < -4 и определите, при каких значениях параметра m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для решения задачи построим график функции и проанализируем количество точек пересечения с прямой $y = m$. 1. Рассмотрим первую часть функции: $y = x^2 + 6x + 11$ при $x \ge -4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2} = -3$. Значение функции в вершине: $y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 11 = 9 - 18 + 11 = 2$. При $x = -4$, $y(-4) = (-4)^2 + 6(-4) + 11 = 16 - 24 + 11 = 3$. Итак, на интервале $x \ge -4$ график представляет собой часть параболы с минимальным значением $2$ (в вершине) и начальной точкой $(-4; 3)$. 2. Рассмотрим вторую часть функции: $y = -\frac{16}{x}$ при $x < -4$. Это гипербола. При приближении $x$ к $-4$ слева, $y$ стремится к $-\frac{16}{-4} = 4$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. Значение функции на этом промежутке лежит в интервале $(0; 4)$. 3. Анализ количества пересечений: - При $m \in (0; 2)$ прямая $y=m$ пересекает только ветвь гиперболы (одна точка). - При $m = 2$ прямая проходит через вершину параболы (одна точка) и не пересекает гиперболу (так как $2$ не лежит в интервале $(0; 4)$, а гипербола определена при $x < -4$ и её значения в $(0; 4)$). Стоп, гипербола при $x < -4$: $y = -16/x$. Если $x = -5$, $y = 3.2$; если $x = -8$, $y = 2$. Значит, при $m=2$ есть пересечение и с гиперболой (в точке $x=-8$). Таким образом, при $m=2$ есть две точки пересечения. - При $m \in (2; 3)$ есть пересечение с параболой (две точки) и с гиперболой (одна точка) — итого три точки. - При $m = 3$ есть пересечение с параболой (точка $x=-4$ и еще одна) и с гиперболой (нет, $y=3$ при $x=-16/3 \approx -5.33$, что меньше $-4$). Итак, при $m=3$ есть пересечения с параболой (в точках $x=-4$ и $x=-2$) и гиперболой (в точке $x=-16/3$). Всего три точки. - При $m > 3$ есть пересечение только с параболой (две точки). - При $m \le 0$ пересечений нет. Проверим еще раз: - Парабола при $x \ge -4$ меняется от $2$ до $+\infty$. - Гипербола при $x < -4$ меняется от $0$ до $4$. График: :::div .chart-container @chart-1::: Анализ: - При $m \in (0; 2)$: одна точка (гипербола). - При $m = 2$: две точки (вершина параболы и точка на гиперболе $x=-8$). - При $m \in (2; 4)$: три точки (две на параболе, одна на гиперболе). - При $m \ge 4$: одна точка (на параболе). **Ответ:** $m \in (0; 2) \cup [4; +\infty)$.