Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 2x^2 - 3x + a = 0 имеет два различных корня.

Привет! Давай решим эти задачи на исследование квадратных уравнений через дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Уравнение имеет два различных корня, если $D > 0$, один корень (или является линейным), если $D = 0$, и хотя бы один корень, если $D \ge 0$ (учитывая случаи, когда уравнение становится линейным). 1. $2x^2 - 3x + a = 0$. Два корня, если $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot a = 9 - 8a > 0 \implies 9 > 8a \implies a < \frac{9}{8}$. **Ответ: $a < 1{,}125$**. 2. $(a - 3)x^2 - 2ax - 1 = 0$. Один корень. - Если $a - 3 = 0 \implies a = 3$, уравнение $-6x - 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{6}$ (один корень, подходит). - Если $a - 3 \neq 0$, $D = (-2a)^2 - 4(a - 3)(-1) = 4a^2 + 4a - 12 = 0 \implies a^2 + a - 3 = 0$. Корни $a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$. **Ответ: $a = 3; a = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$**. 3. $(a - 2)x^2 - 2ax + a + 3 = 0$. Хотя бы один корень ($D \ge 0$). - Если $a - 2 = 0 \implies a = 2$, уравнение $-4x + 5 = 0 \implies x = 1{,}25$ (подходит). - Если $a \neq 2$, $D = (-2a)^2 - 4(a - 2)(a + 3) = 4a^2 - 4(a^2 + a - 6) = 4a^2 - 4a^2 - 4a + 24 = 24 - 4a$. Нужно $24 - 4a \ge 0 \implies 4a \le 24 \implies a \le 6$. Учитывая условие $a \neq 2$, получаем $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6]$. Объединяя с $a = 2$, получаем $a \le 6$. **Ответ: $a \le 6$**. 4. $ax^2 + (a + 3)x - 3a = 0$. Два корня, если $a \neq 0$ и $D > 0$. $D = (a + 3)^2 - 4 \cdot a \cdot (-3a) = a^2 + 6a + 9 + 12a^2 = 13a^2 + 6a + 9$. Дискриминант для $D$ (чтобы проверить знак) равен $6^2 - 4 \cdot 13 \cdot 9 < 0$. Значит, $D$ всегда положительно при любых $a$. Остается только условие $a \neq 0$ (так как иначе уравнение линейное). **Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$**. 5. $x^2 - 2x - a = 0$. Два корня, если $D > 0$. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 4 + 4a > 0 \implies 4a > -4 \implies a > -1$. **Ответ: $a > -1$**.