Дано: дуга AB : дуга AC = 3 : 2; <A = 50°. Найти: <B, <C, <BOC.

Задача 1 1. Сумма всех дуг окружности равна 360°. Пусть $\smile AB = 3x$, а $\smile AC = 2x$. 2. Вписанный угол $\angle A = 50^{\circ}$ опирается на дугу $BC$. Значит, $\smile BC = 2 \cdot 50^{\circ} = 100^{\circ}$. 3. Составим уравнение: $3x + 2x + 100^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow 5x = 260^{\circ} \Rightarrow x = 52^{\circ}$. 4. Найдем дуги: $\smile AB = 3 \cdot 52^{\circ} = 156^{\circ}$, $\smile AC = 2 \cdot 52^{\circ} = 104^{\circ}$. 5. Углы треугольника как вписанные: $\angle C = \frac{156^{\circ}}{2} = 78^{\circ}$, $\angle B = \frac{104^{\circ}}{2} = 52^{\circ}$. 6. Центральный угол $\angle BOC = \smile BC = 100^{\circ}$. Ответ: $\angle B = 52^{\circ}$, $\angle C = 78^{\circ}$, $\angle BOC = 100^{\circ}$. Задача 2 Допущение: В тексте задачи «CE в раза больше DE» подразумевается «CE в 4 раза больше DE». 1. По свойству пересекающихся хорд: $AE \cdot BE = CE \cdot DE$. 2. Подставим значения: $4 \cdot 9 = CE \cdot DE \Rightarrow 36 = CE \cdot DE$. 3. Так как $CE = 4 \cdot DE$, получаем уравнение: $4 \cdot DE \cdot DE = 36 \Rightarrow 4 \cdot DE^2 = 36 \Rightarrow DE^2 = 9 \Rightarrow DE = 3$ см. 4. Найдем $CE$: $CE = 4 \cdot 3 = 12$ см. 5. Длина хорды $CD = CE + DE = 12 + 3 = 15$ см. Ответ: $CD = 15$ см.