Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 2. Найдите площадь квадрата ABCD.

### Решение задачи 16.21 1. Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $CD = a$. Так как $O$ — середина $CD$, то $OD = a/2$. 2. Сторона $AD$ перпендикулярна $CD$, поэтому треугольник $\triangle AOD$ — прямоугольный, где $AD = a$ (сторона квадрата), $OD = a/2$, а $OA$ — гипотенуза. 3. По условию, радиус окружности равен 2, и она проходит через точку $A$ с центром в $O$. Значит, $OA = 2$. 4. Применим теорему Пифагора для $\triangle AOD$: $OA^2 = AD^2 + OD^2$ $2^2 = a^2 + (a/2)^2$ $4 = a^2 + a^2/4$ $4 = 5a^2/4$ $a^2 = 16/5 = 3,2$ 5. Площадь квадрата $S = a^2$. Значит, $S = 3,2$. **Ответ: 3,2** ### Решение задачи 16.22 1. Пусть касательные к окружности в точках $A$ и $B$ пересекаются в точке $C$. По условию, $\angle ACB = 72^\circ$. 2. Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны касательным $AC$ и $BC$ соответственно, поэтому $\angle OAC = \angle OBC = 90^\circ$. 3. В четырехугольнике $OACB$ сумма углов равна $360^\circ$. Найдем центральный угол $\angle AOB$: $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. 4. Треугольник $\triangle AOB$ — равнобедренный ($OA = OB$ как радиусы). Сумма углов в нем равна $180^\circ$, значит: $\angle ABO = (180^\circ - \angle AOB) / 2 = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$. **Ответ: 36**