5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 28°, ∠ABD=64° и ∠BDA=36°. Найти углы четырёхугольника.

Для решения задачи воспользуемся свойством углов, вписанных в окружность: углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Дан четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Нам даны следующие углы: - $\angle DBC = 28^\circ$ (опирается на дугу DC) - $\angle ABD = 64^\circ$ (опирается на дугу AD) - $\angle BDA = 36^\circ$ (опирается на дугу AB) Найдем углы четырехугольника: 1. **Угол B** ($\angle ABC$): Это сумма двух данных углов: $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 64^\circ + 28^\circ = 92^\circ$. 2. **Угол D** ($\angle ADC$): Сначала найдем $\angle BDC$. Так как $\angle BDC$ и $\angle BAC$ опираются на одну дугу, но у нас их нет, пойдем другим путем через равенство вписанных углов. - $\angle CAD = \angle CBD = 28^\circ$ (опираются на дугу CD). - $\angle ACD = \angle ABD = 64^\circ$ (опираются на дугу AD). - $\angle BCA = \angle BDA = 36^\circ$ (опираются на дугу AB). - $\angle BAC = \angle BDC$ (опираются на дугу BC). Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$: сумма углов $180^\circ$. $\angle BAD = 180^\circ - (\angle ABD + \angle BDA) = 180^\circ - (64^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$. Мы знаем, что $\angle CAD = 28^\circ$. Значит, $\angle BAC = 80^\circ - 28^\circ = 52^\circ$. Так как $\angle BAC = \angle BDC$, то $\angle BDC = 52^\circ$. Теперь найдем угол D: $\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 36^\circ + 52^\circ = 88^\circ$. 3. **Угол A**: $\angle BAD = 80^\circ$ (нашли ранее). 4. **Угол C**: У четырехугольника, вписанного в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. - $\angle ADC + \angle ABC = 88^\circ + 92^\circ = 180^\circ$ (верно). - $\angle BCD = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. **Ответ:** $\angle A = 80^\circ, \angle B = 92^\circ, \angle C = 100^\circ, \angle D = 88^\circ$.