Решите неравенство (x - 1)(3x - 5) < 1.

Давай разберем эти неравенства по порядку. 1. $(x - 1)(3x - 5) < 1$ Раскроем скобки: $3x^2 - 5x - 3x + 5 < 1$ $3x^2 - 8x + 4 < 0$ Найдем корни уравнения $3x^2 - 8x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$. $x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{6}$, то есть $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{2}{3}$. Так как парабола ветвями вверх, выражение меньше нуля между корнями: $\frac{2}{3} < x < 2$. **Ответ: $(\frac{2}{3}; 2)$** 2. $(x - 5)^2 < \sqrt{7}(x - 5)$ Перенесем все влево: $(x - 5)^2 - \sqrt{7}(x - 5) < 0$ Вынесем $(x - 5)$: $(x - 5)(x - 5 - \sqrt{7}) < 0$ Корни: $x_1 = 5$, $x_2 = 5 + \sqrt{7}$. Так как это парабола ветвями вверх, решение: $5 < x < 5 + \sqrt{7}$. **Ответ: $(5; 5 + \sqrt{7})$** 3. $x \le \frac{16}{x}$ $x - \frac{16}{x} \le 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 16}{x} \le 0 \Rightarrow \frac{(x - 4)(x + 4)}{x} \le 0$ Используем метод интервалов: критические точки $x = -4, x = 0, x = 4$. Знаки на интервалах: $(-\infty; -4] \cup (0; 4]$. **Ответ: $(-\infty; -4] \cup (0; 4]$** 4. $(5 - x)(x^2 + x - 30) \ge 0$ Разложим $x^2 + x - 30$ на множители: корни уравнения $x^2 + x - 30 = 0$ это $5$ и $-6$. То есть $(5 - x)(x - 5)(x + 6) \ge 0$ $-(x - 5)(x - 5)(x + 6) \ge 0 \Rightarrow -(x - 5)^2(x + 6) \ge 0$ $(x - 5)^2(x + 6) \le 0$. Квадрат всегда $\ge 0$. Произведение $\le 0$ при $x + 6 \le 0$ или $(x - 5) = 0$. $x \le -6$ или $x = 5$. **Ответ: $(-\infty; -6] \cup \{5\}$** 5. $(x^2 - 2x - 15)(x^2 - 7x + 10) \le 0$ Разложим на множители: $(x - 5)(x + 3)(x - 5)(x - 2) \le 0$ $(x - 5)^2(x + 3)(x - 2) \le 0$ Метод интервалов: корни $-3, 2, 5$. Так как $(x - 5)^2 \ge 0$, выражение меняет знак только в точках $-3$ и $2$. В точке $5$ выражение равно $0$ и не меняет знак. Решение: $[-3; 2] \cup \{5\}$. **Ответ: $[-3; 2] \cup \{5\}$** 6. $\frac{x^2 - 9x + 20}{x - 4} \le 0$ Числитель: $x^2 - 9x + 20 = (x - 4)(x - 5)$. $\frac{(x - 4)(x - 5)}{x - 4} \le 0$. Сократим на $(x - 4)$, при условии $x \neq 4$. Получаем $x - 5 \le 0$, то есть $x \le 5$. Учитывая ОДЗ ($x \neq 4$), получаем $x < 4$ или $4 < x \le 5$. **Ответ: $(-\infty; 4) \cup (4; 5]$**