Задания: 1) Найти область определения функций:

Для нахождения области определения функции с корнем четной степени, необходимо, чтобы выражение под знаком корня было неотрицательным (≥ 0). Если корень находится в знаменателе, выражение под корнем должно быть строго больше нуля (> 0). 1) $y = \sqrt[6]{2x+1} - \sqrt[8]{5-10x}$ Оба корня четной степени, значит: $2x + 1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -1 \Rightarrow x \ge -0,5$ $5 - 10x \ge 0 \Rightarrow 10x \le 5 \Rightarrow x \le 0,5$ Объединяем: $x \in [-0,5; 0,5]$ 2) $y = \sqrt[12]{15-x^2+2x}$ Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $-x^2 + 2x + 15 \ge 0$ $x^2 - 2x - 15 \le 0$ Корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 5, x_2 = -3$. Парабола ветвями вверх, меньше нуля между корнями: $x \in [-3; 5]$ 3) $y = \sqrt[6]{\frac{3-7x}{2x+9}}$ Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, знаменатель $\neq 0$: $\frac{3-7x}{2x+9} \ge 0$ Корни: $3-7x=0 \Rightarrow x=\frac{3}{7}$; $2x+9=0 \Rightarrow x=-4,5$. Метод интервалов (берем пробные точки): $x \in (-4,5; \frac{3}{7}]$ 4) $y = \frac{\sqrt[6]{x^2-5x}}{2x+2} - \sqrt[10]{\frac{2x+3}{x-4}}$ Два условия: А) $x^2-5x \ge 0 \Rightarrow x(x-5) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 0] \cup [5; +\infty)$. Также $2x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. Б) $\frac{2x+3}{x-4} \ge 0$. Корни: $x=-1,5$ и $x=4$. Интервалы для (Б): $x \in (-\infty; -1,5] \cup (4; +\infty)$. Пересекаем множества А и Б: $x \in (-\infty; -1,5] \cup [5; +\infty)$ (с учетом $x \neq -1$, которое уже исключено).