3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Дано: треугольник МРТ, РМ = РТ. Доказать: ∠М = ∠Т.

Привет! Давай разберем доказательство свойства равнобедренного треугольника, которое у тебя на странице. ### Доказательство: углы при основании равнобедренного треугольника **Дано:** $\triangle MPT, PM = PT$. **Доказать:** $\angle M = \angle T$. **Доказательство:** 1) Проведём биссектрису $PO$ угла $P$. 2) В треугольниках $MPO$ и $TPO$: - $PM = PT$ (по условию); - $\angle MPO = \angle TPO$ ($PO$ — биссектриса угла $P$); - $PO$ — общая сторона. Следовательно, $\triangle MPO = \triangle TPO$ по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними). 3) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому $\angle M = \angle T$. Теорема доказана. ### Теорема: Свойство биссектрисы В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к **основанию**, является **медианой** и **высотой**. **Доказательство для задачи:** Дано: $\triangle MPT, PM = PT, PO$ — биссектриса. Доказать: $OM = OT; PO \perp MT$. Так как $\triangle MPO = \triangle TPO$ (мы доказали это выше), то: - $OM = OT$ (как соответствующие стороны равных треугольников), значит $PO$ — медиана. - $\angle POM = \angle POT$ (как соответствующие углы). Так как $\angle POM + \angle POT = 180^\circ$ (смежные), то каждый равен $90^\circ$, значит $PO \perp MT$, то есть $PO$ — высота.