1 вариант. 1.Найти неопределенный интеграл. 1. ∫ x^3(2x + 7)dx; 2. ∫ 5dx/(2 - 3x); 3. ∫ (1 - e^5x + 2^x)dx; 2. Вычислить определенный интеграл: ∫_1^2 2dx/(x - 5). 3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x^2, y = 2x.

Привет! Давай разберем эти задания по интегралам. ### 1. Найти неопределенный интеграл: 1) $\int x^3(2x + 7)dx = \int (2x^4 + 7x^3)dx = 2 \cdot \frac{x^5}{5} + 7 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{2x^5}{5} + \frac{7x^4}{4} + C$ 2) $\int \frac{5dx}{2 - 3x} = 5 \int \frac{dx}{2 - 3x} = 5 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \ln|2 - 3x| + C = -\frac{5}{3} \ln|2 - 3x| + C$ 3) $\int (1 - e^{5x} + 2^x)dx = \int 1 dx - \int e^{5x} dx + \int 2^x dx = x - \frac{e^{5x}}{5} + \frac{2^x}{\ln 2} + C$ ### 2. Вычислить определенный интеграл: $\int_1^2 \frac{2dx}{x - 5} = 2 \int_1^2 \frac{dx}{x - 5} = 2 \ln|x - 5| \big|_1^2 = 2(\ln|2 - 5| - \ln|1 - 5|) = 2(\ln 3 - \ln 4) = 2 \ln \frac{3}{4} = \ln \frac{9}{16}$ ### 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = 2x$: Найдем точки пересечения: $x^2 = 2x \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$. На отрезке $[0; 2]$ прямая $y = 2x$ выше параболы $y = x^2$. Площадь $S = \int_0^2 (2x - x^2) dx = (x^2 - \frac{x^3}{3}) \big|_0^2 = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$. **Ответ:** 1) $\frac{2x^5}{5} + \frac{7x^4}{4} + C$; 2) $-\frac{5}{3} \ln|2 - 3x| + C$; 3) $x - \frac{e^{5x}}{5} + \frac{2^x}{\ln 2} + C$; 4) $\ln \frac{9}{16}$; 5) $\frac{4}{3}$.