1. Какую цифру вместо звёздочки нужно подставить в запись числа 269 56*, чтобы получилось число, кратное:

Привет! Давай разберем эти задания. ### 1. Число $26956*$ Чтобы определить цифру, используем признаки делимости: а) На 2: число должно быть четным ($* \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$). На 3: сумма цифр должна делиться на 3. Сумма $2+6+9+5+6 = 28$. $28+*$. Подходят $* \in \{2, 8\}$, так как $28+2=30$ и $28+8=36$ делятся на 3. Итого: **2 или 8**. б) На 5: последняя цифра 0 или 5. На 9: сумма цифр делится на 9. Сумма $28+*$. Если $*=0$, $28+0=28$ (нет). Если $*=5$, $28+5=33$ (нет). Ни одна цифра не подходит. в) На 10: последняя цифра 0. Сумма $28+0=28$ (не делится на 3, если бы требовалось, но здесь только 10). Ответ: **0**. ### 2. Разложение 72 $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$. ### 3. НОД (410, 630) $410 = 10 \cdot 41 = 2 \cdot 5 \cdot 41$ $630 = 10 \cdot 63 = 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$ Общие множители: $2 \cdot 5 = 10$. Ответ: **10**. ### 4. НОК ($a=5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 11$, $b=3 \cdot 5 \cdot 7$) Выпишем все множители с наибольшими показателями: $3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^2 \cdot 11^1 = 3 \cdot 5 \cdot 49 \cdot 11 = 8085$. ### 5. Кратные чисел 1257, 2972, 3675, 4671 а) На 2 (четные): **2972**. б) На 3 (сумма цифр кратна 3): $1+2+5+7=15$ (да: **1257**) $2+9+7+2=20$ (нет) $3+6+7+5=21$ (да: **3675**) $4+6+7+1=18$ (да: **4671**) в) На 9 (сумма цифр кратна 9): **4671** (18). г) На 5 (оканчиваются на 0 или 5): **3675**. д) На 3 и 5 (кратные 15, оканчиваются на 0 или 5 и сумма делится на 3): **3675**. ### 6. НОК (60, 72, 30) $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ $72 = 2^3 \cdot 3^2$ $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ НОК берем с макс. степенями: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$. ### 7. НОК (420, 140, 180) $420 = 42 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ $140 = 14 \cdot 10 = 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$ $180 = 18 \cdot 10 = 2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ НОК: $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 35 = 36 \cdot 35 = 1260$. ### 8. НОК и НОД а) 80 и 72: $80 = 2^4 \cdot 5$ $72 = 2^3 \cdot 3^2$ НОД = $2^3 = 8$. НОК = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720$. б) 40 и 92: $40 = 2^3 \cdot 5$ $92 = 2^2 \cdot 23$ НОД = $2^2 = 4$. НОК = $2^3 \cdot 5 \cdot 23 = 40 \cdot 23 = 920$. ### 9. Взаимно простые 324 и 111? $324 = 2^2 \cdot 3^4$ $111 = 3 \cdot 37$ Имеют общий делитель 3, значит **не являются** взаимно простыми. НОД = 3.