Упростить выражение: 2a+2b/b * (1/(a-b) - 1/(a+b)).

### 1. Упростить выражение: $\frac{2a + 2b}{b} \cdot \left( \frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} \right)$ 1) Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: $\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b} = \frac{(a+b) - (a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b-a+b}{a^2-b^2} = \frac{2b}{a^2-b^2}$ 2) Умножим на первое выражение: $\frac{2(a+b)}{b} \cdot \frac{2b}{(a-b)(a+b)}$ 3) Сократим $b$ и $(a+b)$: $\frac{2 \cdot 2}{a-b} = \frac{4}{a-b}$ **Ответ: $\frac{4}{a-b}$** ### 2. Решить уравнение: $2x^2 + 3x - 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$ $x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 5}{4}$ $x_1 = \frac{2}{4} = 0,5$ $x_2 = \frac{-8}{4} = -2$ **Ответ: $-2; 0,5$** ### 3. Решить систему неравенств: $\begin{cases} x-1 < 2+3x \\ 5x-7 < x+9 \end{cases}$ 1) $x - 3x < 2 + 1 \Rightarrow -2x < 3 \Rightarrow x > -1,5$ 2) $5x - x < 9 + 7 \Rightarrow 4x < 16 \Rightarrow x < 4$ Объединяя: $-1,5 < x < 4$ **Ответ: $(-1,5; 4)$** ### 4. Найти значение выражения: $\frac{6}{(2\sqrt{3})^2}$ $\frac{6}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} = 0,5$ **Ответ: $0,5$** ### 5. Найти решение неравенства: $\frac{2-3x}{4} \le \frac{6-5x}{8} + \frac{1}{5}$, принадлежащие промежутку $[-5; 0]$. 1) Умножим обе части на общий знаменатель 40: $10(2-3x) \le 5(6-5x) + 8$ $20 - 30x \le 30 - 25x + 8$ $-30x + 25x \le 38 - 20$ $-5x \le 18$ $x \ge -3,6$ 2) С учетом промежутка $[-5; 0]$, решение: $[-3,6; 0]$. **Ответ: $[-3,6; 0]$** ### 6. Спортивная лодка прошла 45 км против течения и 45 км по течению, потратив 14 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найти собственную скорость лодки. Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки ($x > 2$). Тогда $(x-2)$ — скорость против течения, $(x+2)$ — по течению. Уравнение: $\frac{45}{x-2} + \frac{45}{x+2} = 14$ $45(x+2) + 45(x-2) = 14(x^2 - 4)$ $45x + 90 + 45x - 90 = 14x^2 - 56$ $90x = 14x^2 - 56$ $14x^2 - 90x - 56 = 0 \quad |:2$ $7x^2 - 45x - 28 = 0$ $D = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809 = 53^2$ $x = \frac{45 \pm 53}{14}$ $x_1 = \frac{98}{14} = 7$; $x_2 = -\frac{8}{14}$ (не подходит). **Ответ: $7$ км/ч**