5.Основа піраміди — ромб з кутом 60°. Кожний двогранний кут піраміди при ребрі основи дорівнює 60°. Знайдіть об'єм піраміди, якщо радіус вписаної в неї сфери дорівнює 12 см.

Дано: в основі піраміди — ромб з кутом $60^\circ$. Двогранний кут при основі $\beta = 60^\circ$. Радіус вписаної сфери $r = 12$ см. 1. Нехай $\rho$ — радіус вписаного кола в основу (ромб). Зв'язок між $r$, $\rho$ та кутом $\beta$ виражається формулою: $r = \rho \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$ $12 = \rho \cdot \tan(30^\circ) = \rho \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\rho = 12\sqrt{3}$ см. 2. Висота піраміди $H$: $H = \rho \cdot \tan \beta = 12\sqrt{3} \cdot \tan 60^\circ = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 36$ см. 3. Знайдемо сторону ромба $a$. Висота ромба $h = 2\rho = 24\sqrt{3}$. $h = a \cdot \sin 60^\circ = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \implies a = \frac{24\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 48$ см. 4. Площа основи $S = a^2 \cdot \sin 60^\circ = 48^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2304 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1152\sqrt{3}$ см$^2$. 5. Об'єм $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 1152\sqrt{3} \cdot 36 = 1152\sqrt{3} \cdot 12 = 13824\sqrt{3}$ см$^3$. **Перевод:** Дано: в основании пирамиды — ромб с углом $60^\circ$. Двугранный угол при основании $\beta = 60^\circ$. Радиус вписанной сферы $r = 12$ см. 1. Пусть $\rho$ — радиус вписанной окружности в основание (ромб). Связь между $r$, $\rho$ и углом $\beta$ выражается формулой: $r = \rho \cdot \tan(\frac{\beta}{2})$ $12 = \rho \cdot \tan(30^\circ) = \rho \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\rho = 12\sqrt{3}$ см. 2. Высота пирамиды $H$: $H = \rho \cdot \tan \beta = 12\sqrt{3} \cdot \tan 60^\circ = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 36$ см. 3. Найдем сторону ромба $a$. Высота ромба $h = 2\rho = 24\sqrt{3}$. $h = a \cdot \sin 60^\circ = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \implies a = \frac{24\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 48$ см. 4. Площадь основания $S = a^2 \cdot \sin 60^\circ = 48^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2304 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1152\sqrt{3}$ см$^2$. 5. Объем $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 1152\sqrt{3} \cdot 36 = 1152\sqrt{3} \cdot 12 = 13824\sqrt{3}$ см$^3$. **Ответ:** $13824\sqrt{3}$ см$^3$.