Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 10.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AM$ — биссектриса угла $A$, $DM$ — биссектриса угла $D$, $M \in BC$, $AB = 10$. 1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$. Следовательно, углы $\angle AMB$ и $\angle MAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AM$. 2. Поскольку $AM$ — биссектриса, то $\angle BAM = \angle MAD$. Отсюда $\angle BAM = \angle AMB$, значит, треугольник $\triangle ABM$ — равнобедренный с основанием $AM$, и $AB = BM = 10$. 3. Аналогично для угла $D$: $\angle CMD = \angle ADM$ (накрест лежащие), и так как $DM$ — биссектриса, $\angle ADM = \angle CDM$. Значит, $\angle CMD = \angle CDM$, и треугольник $\triangle MCD$ — равнобедренный, $MC = CD = AB = 10$. 4. Сторона $BC = BM + MC = 10 + 10 = 20$. 5. Периметр параллелограмма $P = 2(AB + BC) = 2(10 + 20) = 2 \times 30 = 60$. **Ответ: 60**