Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD = 8$ (нижнее) и $BC = 6$ (верхнее). Центр описанной окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к основаниям (на оси симметрии трапеции). 1. Проведем радиусы $R$ к вершинам. Пусть $h$ — высота трапеции. 2. Рассмотрим треугольники, образованные радиусами к вершинам: - Расстояние от центра $O$ до нижнего основания $AD$: $x$. Тогда в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $R=5$ и катетом, равным половине основания $AD/2 = 4$, имеем: $x^2 + 4^2 = 5^2 x^2 + 16 = 25 x^2 = 9 x = 3$ - Расстояние от центра $O$ до верхнего основания $BC$: $y$. Тогда в прямоугольном треугольнике с гипотенузой $R=5$ и катетом, равным половине основания $BC/2 = 3$, имеем: $y^2 + 3^2 = 5^2 y^2 + 9 = 25 y^2 = 16 y = 4$ 3. Высота трапеции может быть двух видов, в зависимости от того, по какую сторону от центра окружности лежат основания: - Случай 1: Центр окружности лежит между основаниями. Высота $h = x + y = 3 + 4 = 7$. - Случай 2: Центр окружности лежит вне трапеции (основания по одну сторону от центра). Высота $h = |y - x| = |4 - 3| = 1$. Ответ: 7 или 1.