1) 1 - cos(π - x) + sin(π/2 + x/2) = 0; 2) √2 cos(x - π/4) = (sin x + cos x)^2.

Привет! Давай решим эти тригонометрические уравнения по порядку. ### 1) Решение уравнения: $1 - \cos(\pi - x) + \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}) = 0$ 1. Используем формулы приведения: $\cos(\pi - x) = -\cos x$ $\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}) = \cos(\frac{x}{2})$ 2. Подставляем в уравнение: $1 - (-\cos x) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$ $1 + \cos x + \cos(\frac{x}{2}) = 0$ 3. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1$: $1 + (2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$ $2\cos^2(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$ 4. Выносим общий множитель: $\cos(\frac{x}{2}) (2\cos(\frac{x}{2}) + 1) = 0$ Отсюда два случая: а) $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $2\cos(\frac{x}{2}) = -1 \Rightarrow \cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{2} = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \Rightarrow x = \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\pi + 2\pi k; \pm\frac{4\pi}{3} + 4\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$ ### 2) Решение уравнения: $\sqrt{2} \cos(x - \frac{\pi}{4}) = (\sin x + \cos x)^2$ 1. Раскроем левую часть по формуле косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$: $\sqrt{2} (\cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4}) = (\sin x + \cos x)^2$ $\sqrt{2} (\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = (\sin x + \cos x)^2$ $\cos x + \sin x = (\sin x + \cos x)^2$ 2. Пусть $t = \sin x + \cos x$. Тогда уравнение принимает вид $t = t^2$, или $t^2 - t = 0$, $t(t-1) = 0$. 3. Решаем: а) $t = 0 \Rightarrow \sin x + \cos x = 0 \Rightarrow \tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $t = 1 \Rightarrow \sin x + \cos x = 1$ $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1$ $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $-\frac{\pi}{4} + \pi k; 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z}$