Задача 1.7. Мяч брошен вертикально вверх. На высоте h = 6 м он побывал дважды с интервалом Δt = 3 с. Определите начальную скорость мяча.

Для решения задачи воспользуемся уравнением движения тела, брошенного вертикально вверх: $h = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно времени $t$: $\frac{g}{2}t^2 - v_0 t + h = 0$ Пусть $t_1$ и $t_2$ — моменты времени, когда мяч находится на высоте $h$. По условию $|t_2 - t_1| = \Delta t$. Корни этого уравнения $t_1$ и $t_2$ связаны с коэффициентами уравнения теоремой Виета: $t_1 + t_2 = \frac{v_0}{g/2} = \frac{2v_0}{g}$ $t_1 \cdot t_2 = \frac{h}{g/2} = \frac{2h}{g}$ Нам известно, что $(t_2 - t_1)^2 = (t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2$. Подставим известные величины: $(\Delta t)^2 = \left(\frac{2v_0}{g}\right)^2 - 4 \cdot \frac{2h}{g}$ $(\Delta t)^2 = \frac{4v_0^2}{g^2} - \frac{8h}{g}$ Выразим $v_0$: $\frac{4v_0^2}{g^2} = (\Delta t)^2 + \frac{8h}{g}$ $v_0^2 = \frac{g^2 (\Delta t)^2}{4} + 2gh = \left(\frac{g \Delta t}{2}\right)^2 + 2gh$ $v_0 = \sqrt{\left(\frac{g \Delta t}{2}\right)^2 + 2gh}$ Подставим значения ($g \approx 10 \text{ м/с}^2$, $h = 6 \text{ м}$, $\Delta t = 3 \text{ с}$): $v_0 = \sqrt{\left(\frac{10 \cdot 3}{2}\right)^2 + 2 \cdot 10 \cdot 6} = \sqrt{15^2 + 120} = \sqrt{225 + 120} = \sqrt{345} \approx 18.57 \text{ м/с}$. Если использовать более точное значение $g = 9.8 \text{ м/с}^2$: $v_0 = \sqrt{\left(\frac{9.8 \cdot 3}{2}\right)^2 + 2 \cdot 9.8 \cdot 6} = \sqrt{14.7^2 + 117.6} = \sqrt{216.09 + 117.6} = \sqrt{333.69} \approx 18.27 \text{ м/с}$. **Ответ:** Начальная скорость составляет примерно $18.3 \text{ м/с}$ (при $g = 9.8 \text{ м/с}^2$) или $18.6 \text{ м/с}$ (при $g = 10 \text{ м/с}^2$).