Величины смежных углов пропорциональны числам 4 и 6. Найдите разность между этими углами.

### Решение итоговой контрольной работы **1. Величины смежных углов пропорциональны числам 4 и 6. Найдите разность между этими углами.** Пусть один угол $4x$, а другой $6x$. Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$: $4x + 6x = 180^\circ$ $10x = 180^\circ$ $x = 18^\circ$ Углы равны: $4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$ и $6 \cdot 18^\circ = 108^\circ$. Разность: $108^\circ - 72^\circ = 36^\circ$. **Ответ: 36^\circ.** **2. Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна $210^\circ$. Найдите эти углы.** При параллельных прямых накрест лежащие углы равны ($\alpha = \beta$). Тогда $\alpha + \beta = 210^\circ \implies 2\alpha = 210^\circ \implies \alpha = 105^\circ$. Углы равны $105^\circ$ и $105^\circ$ (однако, по свойству параллельных прямых они должны быть равны, а $210^\circ$ в сумме дают углы, если они являются односторонними, а не накрест лежащими. Если условие строгое, задача некорректна. Но если предположить, что речь о смежных с ними углах, то они $75^\circ$ и $105^\circ$). **Ответ: задача содержит логическую ошибку в условии, так как накрест лежащие углы равны.** **3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$, $CB = 18$ см. Найдите $AB$.** Катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. $CB = \frac{1}{2} AB \implies 18 = \frac{1}{2} AB \implies AB = 36$ см. **Ответ: 36 см.** **4. Периметр равнобедренного треугольника равен 22 см, а одна из его сторон на 2 см меньше другой. Найдите сумму боковых сторон.** Пусть стороны $a, a, b$. Периметр $P = 2a + b = 22$. Возможны два случая: 1) Основание $b = a - 2$. Тогда $2a + a - 2 = 22 \implies 3a = 24 \implies a = 8$. Стороны: 8, 8, 6. Сумма боковых: $8 + 8 = 16$. 2) Боковая сторона $a = b - 2$. Тогда $2(b - 2) + b = 22 \implies 2b - 4 + b = 22 \implies 3b = 26 \implies b = 26/3$ (не целое, но возможно). Стороны: $26/3 - 2 = 20/3$. Сумма боковых: $20/3 + 20/3 = 40/3 \approx 13,3$. Чаще всего в школьных задачах предполагается первый вариант. **Ответ: 16 см.** **5. Назовите верные высказывания:** А) **Верно.** (Сумма углов $180^\circ$, если два угла по $60^\circ$, то и третий $60^\circ$). Б) **Неверно.** (Вертикальные углы равны). В) **Неверно.** (Это свойство биссектрисы). Г) **Верно.** **Ответ: А, Г.** **6. В треугольнике $MPK$ угол $P$ составляет 60% угла $K$, а угол $M$ на $4^\circ$ больше угла $P$. Найдите угол $P$.** Пусть $\angle K = x$. Тогда $\angle P = 0,6x$, а $\angle M = 0,6x + 4$. Сумма углов $180^\circ$: $x + 0,6x + 0,6x + 4 = 180$. $2,2x = 176 \implies x = 80^\circ$. $\angle P = 0,6 \cdot 80 = 48^\circ$. **Ответ: 48^\circ.** **7. Биссектрисы углов $N$ и $M$ треугольника $MNP$ пересекаются в точке $A$. Найдите $\angle NAM$, если $\angle N = 84^\circ$, $\angle M = 42^\circ$.** В треугольнике $NAM$ углы при стороне $NM$ равны половинам углов $N$ и $M$ треугольника $MNP$ (так как $NA$ и $MA$ — биссектрисы). $\angle ANM = \frac{1}{2} \cdot 84^\circ = 42^\circ$. $\angle AMN = \frac{1}{2} \cdot 42^\circ = 21^\circ$. В треугольнике $NAM$: $\angle NAM = 180^\circ - (42^\circ + 21^\circ) = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$. **Ответ: 117^\circ.**