4 К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС, проведена касательная, пересекающая боковые стороны АВ и ВС в точках Р и К соответственно. Найдите боковую сторону треугольника АВС, если периметр треугольника ВРК равен 8 см и АС = 12см.

Пусть $AB = BC = x$ — боковая сторона равнобедренного треугольника $ABC$, а $AC = 12$ см — основание. Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = AB + BC + AC = 2x + 12$. 1. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в некоторых точках. Проведенная касательная отсекает треугольник $BPK$. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных, проведенных из вершин к вписанной окружности, равны. 2. Периметр треугольника $BPK$ равен сумме сторон $BP + PK + BK$. Так как $PK$ — это касательная, ее можно разбить на два отрезка касательными из точек $P$ и $K$ к окружности. Обозначим точки касания касательной $PK$ с окружностью как $M$, а с $AB$ и $BC$ как $E$ и $F$. Тогда периметр $BPK$ равен $BP + (PM + MK) + BK = BP + PE + KF + BK = BE + BF$. Поскольку $BE = BF$ (как отрезки касательных из точки $B$), периметр $BPK = 2BE$. 3. В треугольнике $ABC$ отрезок $BE$ — это расстояние от вершины $B$ до точки касания на стороне $AB$. Известно, что в равнобедренном треугольнике $BE = (AB + BC - AC) / 2 = (2x - 12) / 2 = x - 6$. 4. Значит, периметр $BPK = 2 imes (x - 6) = 2x - 12$. 5. По условию периметр $BPK = 8$. Составим уравнение: $2x - 12 = 8$ $2x = 20$ $x = 10$ Боковая сторона треугольника равна 10 см. **Ответ: 10 см.**