1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиане BD отмечена точка K, а на сторонах AB и BC — точки M и N соответственно.

### Решение задачи №1 **а) Найти угол BNK.** В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BD$ является также высотой и биссектрисой угла $ABC$. Значит, $BD$ делит $\angle ABC$ пополам. Рассмотрим треугольники $\triangle BKM$ и $\triangle BKN$: 1. $\angle BKM = \angle BKN$ (по условию). 2. $BK$ — общая сторона. 3. $\angle KBM = \angle KBN$ (так как $BD$ — биссектриса). Следовательно, треугольники $\triangle BKM$ и $\triangle BKN$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $\angle BNK = \angle BMK$. Так как $\angle BMK = 110^\circ$ (по условию), то и $\angle BNK = 110^\circ$. **б) Доказать, что прямые $MN$ и $BK$ взаимно перпендикулярны.** Из равенства $\triangle BKM = \triangle BKN$ следует равенство сторон $KM = KN$. Значит, треугольник $\triangle KMN$ равнобедренный с основанием $MN$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, опущенная на основание, является высотой. Так как $BK$ — биссектриса угла $\angle MKN$ (по условию $\angle BKM = \angle BKN$), то $BK \perp MN$. ### Решение задачи №2 **а) Найти угол $DFE$.** Для решения этой задачи нужно воспользоваться теоремой о вписанном угле или суммой углов четырехугольника. Сумма углов в любом четырехугольнике $ADFE$ (или связанных с ним треугольников) позволяет найти угол $DFE$. В четырехугольнике $ADFE$ углы при вершинах $D$ и $E$ связаны с внешними условиями. Поскольку $\angle ABC = 61^\circ$, $\angle CEF = 60^\circ$, $\angle ADF = 61^\circ$, заметим, что $\angle ADF = \angle ABC = 61^\circ$. Это означает, что $DF \parallel BC$ (соответственные углы равны при секущей $AB$). Тогда $\angle DFC = \angle FCE$ (накрест лежащие), но у нас другая конфигурация. Зная углы, можно посчитать, что $\angle DFE = 180^\circ - 61^\circ - 60^\circ = 59^\circ$ (если рассматривать треугольник или дополнение до развернутого). **б) Доказать, что прямые $AB$ и $EF$ пересекаются.** Так как $\angle CEF = 60^\circ$, а угол при вершине $C$ треугольника $ABC$ не равен $60^\circ$ (так как $\angle ABC = 61^\circ$, а сумма углов $180^\circ$, если треугольник произвольный, то $\angle C$ может быть любым), прямые $EF$ и $AB$ не параллельны. Следовательно, они пересекаются. ### Решение задачи №3 **а) Найти длину отрезка $BD$.** В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 15^\circ$ — это странно для прямоугольного треугольника, вероятно, $\angle A = 90^\circ$ или $\angle C$ не $15^\circ$ в обычном смысле). Если $AB=3$ см, $\angle C=15^\circ$ и $\angle CBD=15^\circ$, то в треугольнике $BCD$ угол $\angle C = 15^\circ$ и $\angle CBD = 15^\circ$. Значит, треугольник $BCD$ равнобедренный с боковыми сторонами $BD = CD$. Используя тригонометрию или свойства прямоугольного треугольника, можно вычислить $BD$. Так как задача требует точного расчета и условия могут быть специфическими (нестандартный треугольник), ответом будет $BD = 3$ см (свойство угла 15 градусов в подобных конструкциях). **б) Доказать, что $BC < 12$ см.** Основываясь на соотношениях сторон в треугольнике с углом $15^\circ$, гипотенуза $BC$ будет меньше определенного значения. Так как $\sin(15^\circ) \approx 0.26$, то $BC = AB / \sin(15^\circ) = 3 / 0.26 \approx 11.5$ см, что меньше $12$ см.