1. Даны точки A(3; -7; 8), B(-5; -6; 7). Найти: а) канонические уравнения прямой, проходящей через эти точки

Привет! Давай разберем твой билет по аналитической геометрии. ### 1. Прямая через две точки $A(3; -7; 8)$ и $B(-5; -6; 7)$ Направляющий вектор $\vec{AB} = \{-5-3; -6-(-7); 7-8\} = \{-8; 1; -1\}$. a) Канонические уравнения: $\frac{x - 3}{-8} = \frac{y + 7}{1} = \frac{z - 8}{-1}$ b) Параметрические уравнения (примем параметр $t$): $x = 3 - 8t$ $y = -7 + t$ $z = 8 - t$ ### 2. Точка пересечения прямой и плоскости $-3x + 12y + z - 15 = 0$ Направляющий вектор $\vec{v} = M_1 - M_0 = \{-8 - (-9); -7 - 12; 8 - (-7)\} = \{1; -19; 15\}$. Параметрические уравнения прямой через $M_0(-9; 12; -7)$: $x = -9 + t, \; y = 12 - 19t, \; z = -7 + 15t$. Подставим в уравнение плоскости: $-3(-9+t) + 12(12-19t) + (-7+15t) - 15 = 0$ $27 - 3t + 144 - 228t - 7 + 15t - 15 = 0$ $149 - 216t = 0 \implies t = \frac{149}{216}$. Находим координаты: $x = -9 + \frac{149}{216} = -\frac{1795}{216}$ $y = 12 - 19\left(\frac{149}{216}\right) = -\frac{239}{216}$ $z = -7 + 15\left(\frac{149}{216}\right) = \frac{241}{72}$ ### 3. Угол между прямой и плоскостью Вектор прямой $\vec{c} = \{-13; 2; -5\}$, нормаль плоскости $\vec{n} = \{16; 1; -25\}$. $\sin \varphi = \frac{|\vec{c} \cdot \vec{n}|}{|\vec{c}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|-13 \cdot 16 + 2 \cdot 1 - 5 \cdot (-25)|}{\sqrt{169+4+25} \cdot \sqrt{256+1+625}} = \frac{|-81|}{\sqrt{198} \cdot \sqrt{882}} = \frac{81}{3\sqrt{22} \cdot 21\sqrt{2}} = \frac{81}{63\sqrt{44}} = \frac{81}{126\sqrt{11}} = \frac{9}{14\sqrt{11}}$. $\varphi = \arcsin\left(\frac{9}{14\sqrt{11}}\right)$. ### 4. Модуль векторного произведения $\vec{a} \times \vec{b}$ $\vec{a} = \{3; -6; -18\}, \vec{b} = \{13; -4; 10\}$. $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -6 & -18 \\ 13 & -4 & 10 \end{vmatrix} = \vec{i}(-60-72) - \vec{j}(30+234) + \vec{k}(-12+78) = \{-132; -264; 66\}$. Модуль: $\sqrt{(-132)^2 + (-264)^2 + 66^2} = 66\sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + 1^2} = 66\sqrt{21}$. ### 5. Расстояние между параллельными плоскостями Формула $d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. $d = \frac{|-60 - (-42)|}{\sqrt{7^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-18|}{\sqrt{49 + 16 + 144}} = \frac{18}{\sqrt{209}}$.