217. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ox и параболой:

Для решения задачи воспользуемся определенным интегралом. Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = f(x)$ и осью $Ox$, находится как интеграл $S = \int_a^b f(x) dx$, где $a$ и $b$ — корни уравнения $f(x) = 0$. 1) $y = 4 - x^2$. Корни: $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. $S = \int_{-2}^2 (4 - x^2) dx = \left. (4x - \frac{x^3}{3}) \right|_{-2}^2 = (8 - \frac{8}{3}) - (-8 + \frac{8}{3}) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$. 2) $y = 1 - x^2$. Корни: $x = \pm 1$. $S = \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx = \left. (x - \frac{x^3}{3}) \right|_{-1}^1 = (1 - \frac{1}{3}) - (-1 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. 3) $y = -x^2 + 3x - 2$. Корни: $x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0 \Rightarrow x_1=1, x_2=2$. $S = \int_1^2 (-x^2 + 3x - 2) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x) \right|_1^2 = (-\frac{8}{3} + 6 - 4) - (-\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2) = (-\frac{2}{3}) - (-\frac{5}{6}) = \frac{1}{6}$. 4) $y = -x^2 + 4x - 3$. Корни: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) = 0 \Rightarrow x_1=1, x_2=3$. $S = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x) \right|_1^3 = (-9 + 18 - 9) - (-\frac{1}{3} + 2 - 3) = 0 - (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. 5) $y = x(2 - x) = -x^2 + 2x$. Корни: $x=0, x=2$. $S = \int_0^2 (-x^2 + 2x) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} + x^2) \right|_0^2 = (-\frac{8}{3} + 4) - 0 = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. 6) $y = -x(x + 3) = -x^2 - 3x$. Корни: $x=0, x=-3$. $S = \int_{-3}^0 (-x^2 - 3x) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}) \right|_{-3}^0 = 0 - (-(\frac{-27}{3}) - \frac{3 \cdot 9}{2}) = - (9 - 13.5) = 4.5 = 4\frac{1}{2}$. 7) $y = (x + 2)(3 - x) = -x^2 + x + 6$. Корни: $x=-2, x=3$. $S = \int_{-2}^3 (-x^2 + x + 6) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x) \right|_{-2}^3 = (-9 + 4.5 + 18) - (?rac{8}{3} + 2 - 12) = 13.5 - (-7.33) = 20.833 = 20\frac{5}{6}$. 8) $y = (1 - x)(x + 2) = -x^2 - x + 2$. Корни: $x=1, x=-2$. $S = \int_{-2}^1 (-x^2 - x + 2) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x) \right|_{-2}^1 = (-\frac{1}{3} - 0.5 + 2) - (?rac{8}{3} - 2 - 4) = 1.166 - (-3.33) = 4.5 = 4\frac{1}{2}$.