1. Основание прямой четырёхугольной призмы – параллелограмм со сторонами 4 см и 5 см и углом 45° между ними. Высота призмы равна 6 см. Найдите объём призмы.

Привет! Давай решим задачи по геометрии. ### 1. Объём прямой призмы Основание — параллелограмм со сторонами $a = 4$ см, $b = 5$ см и углом $\alpha = 45^\circ$. Высота призмы $h = 6$ см. Площадь основания $S_{осн} = a \cdot b \cdot \sin \alpha = 4 \cdot 5 \cdot \sin 45^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см$^2$. Объём $V = S_{осн} \cdot h = 10\sqrt{2} \cdot 6 = 60\sqrt{2} \approx 84,85$ см$^3$. **Ответ: $60\sqrt{2}$ см$^3$.** ### 2. Объём пирамиды Правильная четырёхугольная пирамида. Боковое ребро $l$ образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Сторона основания $a = 8$ см. Диагональ квадрата основания $d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Расстояние от вершины до центра основания — это половина диагонали: $d/2 = 4\sqrt{2}$. Высота пирамиды $H = \frac{d}{2} \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{6}$ см. Площадь основания $S = a^2 = 8^2 = 64$ см$^2$. Объём $V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 4\sqrt{6} = \frac{256\sqrt{6}}{3} \approx 209,02$ см$^3$. **Ответ: $\frac{256\sqrt{6}}{3}$ см$^3$.** ### 3. Объём усечённой пирамиды Правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Стороны оснований $a_1 = 4$ см, $a_2 = 7$ см. Высота $h = 12$ см. Площади оснований: $S_1 = a_1^2 = 16$ см$^2$, $S_2 = a_2^2 = 49$ см$^2$. Объём $V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (16 + 49 + \sqrt{16 \cdot 49}) = 4 \cdot (65 + 4 \cdot 7) = 4 \cdot (65 + 28) = 4 \cdot 93 = 372$ см$^3$. **Ответ: $372$ см$^3$.** ### 4. Объём параллелепипеда Основание — ромб со стороной $a = 6$ см и углом $120^\circ$ (тогда острый угол $60^\circ$). Диагональ образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Площадь основания $S = a^2 \sin 60^\circ = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см$^2$. Для высоты $H$: нужна длина диагонали основания. В ромбе со стороной 6 и углом $60^\circ$ диагональ, лежащая против угла $60^\circ$, равна стороне: $d_1 = 6$ см. Диагональ, лежащая против угла $120^\circ$, равна $d_2 = 2 \cdot 6 \cdot \cos 30^\circ = 6\sqrt{3}$. Предположим, большая диагональ $d_2$ образует угол $45^\circ$ с основанием: $H = d_2 \cdot \sin 45^\circ = 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{6}$. Объём $V = S \cdot H = 18\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{6} = 54\sqrt{18} = 162\sqrt{2} \approx 229,12$ см$^3$. **Ответ: $162\sqrt{2}$ см$^3$.**