1. Найти интеграл:

Привет! Давай разберем эти задачи по интегралам. 1. Найти интегралы: 1) $\int (8x^2 - 10x^5 - 2)dx = \frac{8x^3}{3} - \frac{10x^6}{6} - 2x + C = \frac{8x^3}{3} - \frac{5x^6}{3} - 2x + C$ 2) $\int (x^4 - \sin \frac{2x}{3})dx = \frac{x^5}{5} + \frac{3}{2}\cos \frac{2x}{3} + C$ 3) $\int \frac{dx}{\sin^2 5x} = -\frac{1}{5}\operatorname{ctg} 5x + C$ 4) $\int \frac{3dx}{x-7} = 3\ln|x-7| + C$ 5) $\int \frac{dx}{x^2 + 10} = \frac{1}{\sqrt{10}}\operatorname{arctg} \frac{x}{\sqrt{10}} + C$ 6) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$ 7) $\int (4e^{-4x} + \frac{5}{x} + \cos 2x)dx = 4 \cdot (-\frac{1}{4})e^{-4x} + 5\ln|x| + \frac{1}{2}\sin 2x + C = -e^{-4x} + 5\ln|x| + \frac{1}{2}\sin 2x + C$ 8) $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ 9) $\int x \sin x dx$ (интегрирование по частям: $u=x, dv=\sin x dx \Rightarrow du=dx, v=-\cos x$): $-x\cos x - \int(-\cos x)dx = -x\cos x + \sin x + C$ 10) $\int \sin^2 3x dx = \int \frac{1-\cos 6x}{2} dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{12}\sin 6x + C$ 2. Площадь фигуры, ограниченной $y=5x-x^2$ и $y=6$: Найдем точки пересечения: $5x-x^2=6 \Rightarrow x^2-5x+6=0$. Корни: $x_1=2, x_2=3$. $S = \int_2^3 (6 - (5x-x^2)) dx = \int_2^3 (x^2-5x+6) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x]_2^3 = (9 - 22.5 + 18) - (\frac{8}{3} - 10 + 12) = 4.5 - \frac{14}{3} = \frac{1}{6} \approx 0.167$ 3. Объем тела вращения вокруг оси OX для $y=\frac{1}{x^2}$, $y=0$, $x=3$, $x=7$: $V = \pi \int_3^7 y^2 dx = \pi \int_3^7 (\frac{1}{x^2})^2 dx = \pi \int_3^7 x^{-4} dx = \pi [\frac{x^{-3}}{-3}]_3^7 = -\frac{\pi}{3} (\frac{1}{7^3} - \frac{1}{3^3}) = -\frac{\pi}{3} (\frac{1}{343} - \frac{1}{27}) = -\frac{\pi}{3} (\frac{27-343}{9261}) = \frac{316\pi}{27783} \approx 0.0357\pi$