В треугольнике ABC угол A = 100 градусов, угол C = 40 градусов.

### Задача 1 В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^\circ$. Найдем угол $B$: $\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (100^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. a) Так как $\angle C = \angle B = 40^\circ$, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Боковые стороны: $AB$ и $AC$. б) $CK$ — биссектриса угла $C$. Значит, $\angle ACK = \angle KCB = 40^\circ / 2 = 20^\circ$. Рассмотрим треугольник $AKC$. Угол $\angle A = 100^\circ$, $\angle ACK = 20^\circ$. Угол $\angle AKC = 180^\circ - (100^\circ + 20^\circ) = 60^\circ$. Биссектриса образует со стороной $AB$ углы $60^\circ$ и $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. ### Задача 2 a) Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является их серединой. Значит, $AO = OB$ и $CO = OD$. $\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные. Следовательно, $\triangle AOD = \triangle BOC$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). б) Так как $\triangle AOD = \triangle BOC$, соответствующие элементы равны. $\angle OBC = \angle ODA$. Так как $\angle ODA = 40^\circ$, то $\angle OBC = 40^\circ$. ### Задача 3 Периметр $P = 80$ см. Пусть стороны треугольника равны $a, a, b$. Возможно два случая: 1) Основание равно $20$ см ($b = 20$). Тогда $2a + 20 = 80$, $2a = 60$, $a = 30$. Стороны: $30, 30, 20$. Треугольник существует ($30+30 > 20$). Основание $20$ см. 2) Боковая сторона равна $20$ см ($a = 20$). Тогда $20 + 20 + b = 80$, $b = 40$. Но $20 + 20 = 40$, а сумма двух сторон должна быть строго больше третьей. Такой треугольник не существует. **Ответ:** 20 см.