C-19. Касательные. Группа «А». 1) AO, BO - ? 2) OB = 10. ∠AOC - ?

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Это классические задачи на свойства касательной к окружности. ### Задача 1 Дано: $AB$ — касательная к окружности в точке $B$. Значит, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$ (угол $OBA = 90^\circ$). В прямоугольном треугольнике $OBA$ известны: - Катет $AB = 8$. - Угол $\angle AOB = 60^\circ$. - Угол $\angle OBA = 90^\circ$. - Значит, угол $\angle OAB = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 1. Найдем $AO$ (гипотенузу) через синус угла $30^\circ$ или косинус $60^\circ$: $AO = \frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \approx 9.24$ 2. Найдем $BO$ (радиус, прилежащий катет к углу $60^\circ$): $BO = AB \cdot \operatorname{ctg} 60^\circ = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \approx 4.62$ **Ответ:** $AO = \frac{16\sqrt{3}}{3}$, $BO = \frac{8\sqrt{3}}{3}$. ### Задача 2 Дано: $BA$ и $BC$ — касательные из точки $B$ к окружности. $OB$ — биссектриса угла $\angle AOC$ и угол $\angle OAB = 90^\circ$ (радиус перпендикулярен касательной). - Радиус $OA = 5$. - По условию $OB = 10$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$ ($\angle OAB = 90^\circ$): - Гипотенуза $OB = 10$. - Катет $OA = 5$. - Так как $OA$ в 2 раза меньше гипотенузы $OB$, то противолежащий ей угол $\angle OBA = 30^\circ$. - Следовательно, угол $\angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Так как треугольники $OAB$ и $OCB$ равны (по гипотенузе и катету), то $\angle AOB = \angle COB = 60^\circ$. Тогда искомый угол $\angle AOC = \angle AOB + \angle COB = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. **Ответ:** $\angle AOC = 120^\circ$.