Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $BC$ ($AB = AC$). 1. Проведем внешнюю биссектрису угла $\angle BAC$. Обозначим её $AD$. 2. Угол при вершине $A$ обозначим как $\angle BAC = \alpha$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, то углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = (180^\circ - \alpha) / 2 = 90^\circ - \alpha/2$. 3. Внешний угол при вершине $A$ равен $180^\circ - \alpha$. 4. Биссектриса $AD$ делит внешний угол пополам. Следовательно, угол между биссектрисой и боковой стороной $AB$ равен $\frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \alpha/2$. 5. Рассмотрим прямые $AD$ (биссектриса) и $BC$ (основание) при секущей $AB$. 6. Мы получили, что накрест лежащие углы (угол $\angle ABC$ и угол между биссектрисой $AD$ и стороной $AB$) равны: $\angle ABC = 90^\circ - \alpha/2$. 7. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, $AD \parallel BC$. Что и требовалось доказать.