1. Неравенство ломаной. 2. Докажите, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 3. Через вершину B треугольника ABC проведена прямая, параллельная прямой AC...

### 1. Неравенство ломаной Неравенство ломаной утверждает, что длина любой ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её начало и конец. Для треугольника (простейшей замкнутой ломаной) это формулируется так: длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. То есть, для треугольника $ABC$: $AB < BC + AC$, $BC < AB + AC$, $AC < AB + BC$. ### 2. Доказательство свойств высоты равнобедренного треугольника Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$ ($AB=BC$). Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. 1. Рассмотрим $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$: - $\angle AHB = \angle CHB = 90^\circ$ (так как $BH$ — высота). - $AB = BC$ (по условию). - $BH$ — общая сторона. 2. Треугольники равны по гипотенузе и катету. 3. Из равенства треугольников следует: - $AH = HC$, значит $BH$ — медиана. - $\angle ABH = \angle CBH$, значит $BH$ — биссектриса. Что и требовалось доказать. ### 3. Нахождение углов треугольника Пусть через вершину $B$ проведена прямая, параллельная $AC$. Она образует три угла с вершиной $B$: $\angle 1, \angle 2, \angle 3$. Угол $\angle 2$ совпадает с внутренним углом $\angle ABC$ треугольника, а $\angle 1$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими при параллельных прямых к углам $A$ и $C$ треугольника $\triangle ABC$ соответственно. Сумма углов при вершине $B$ равна $180^\circ$ (развернутый угол). 1. Пусть части угла равны $3x, 10x, 5x$. Тогда $3x + 10x + 5x = 180^\circ$, откуда $18x = 180^\circ$, значит $x = 10^\circ$. 2. Углы при вершине $B$: $30^\circ, 100^\circ, 50^\circ$. 3. Угол $\angle B = 100^\circ$ (как средний из углов при вершине $B$). 4. Угол $\angle A = 30^\circ$ (накрест лежащий с углом $30^\circ$). 5. Угол $\angle C = 50^\circ$ (накрест лежащий с углом $50^\circ$). Проверка: $30^\circ + 100^\circ + 50^\circ = 180^\circ$. **Ответ: $30^\circ, 100^\circ, 50^\circ$.**