Для заданных множеств A={a} и B={k,г,a,b,l} найти:

### Решение задания 1 Даны множества: $A = \{a\}$ $B = \{k, \text{г}, a, b, l\}$ **а) Собственные подмножества:** Собственное подмножество множества $X$ — это любое подмножество, не равное самому $X$. - Для $A$: единственное собственное подмножество — пустое множество $\emptyset$. - Для $B$: все подмножества, кроме самого $B$ (всего их $2^5 - 1 = 31$): $\emptyset, \{k\}, \{\text{г}\}, \{a\}, \{b\}, \{l\}, \{k, \text{г}\}, \dots$ и так далее. **б) Операции:** - $A \cup B = \{a, k, \text{г}, b, l\}$ - $A \cap B = \{a\}$ - $A \setminus B = \emptyset$ (все элементы $A$ есть в $B$) - $B \setminus A = \{k, \text{г}, b, l\}$ - $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \emptyset \cup \{k, \text{г}, b, l\} = \{k, \text{г}, b, l\}$ - $A \cap \overline{B} = A \setminus B = \emptyset$ - $A \times B = \{(a, k), (a, \text{г}), (a, a), (a, b), (a, l)\}$ - $A^2 = A \times A = \{(a, a)\}$ - $(A \setminus B) \cup (A \cap B) = \emptyset \cup \{a\} = \{a\} = A$ ### Решение задания 2 Проверим равенство: $(A \cap B) \cup C = (A \setminus C) \cap (B \cup C)$ **Способ 1: Диаграммы Эйлера-Венна.** Нарисуем круги $A, B, C$. Левая часть: $(A \cap B)$ — пересечение $A$ и $B$, плюс всё $C$. Правая часть: $(A \setminus C)$ — часть $A$ без $C$, пересеченная с $(B \cup C)$. Очевидно, что эти выражения не равны для произвольных множеств. Например, если $A=\{1\}, B=\{1\}, C=\emptyset$, то $1 \cup \emptyset = 1$, а $(1 \setminus \emptyset) \cap (1 \cup \emptyset) = 1 \cap 1 = 1$. Однако если $C$ — всё множество, равенство может нарушиться. Данное равенство **не является тождеством**. **Способ 2: Контрпример.** Пусть $A = \{1\}, B = \{1\}, C = \{2\}$. Левая часть: $(\{1\} \cap \{1\}) \cup \{2\} = \{1, 2\}$. Правая часть: $(\{1\} \setminus \{2\}) \cap (\{1\} \cup \{2\}) = \{1\} \cap \{1, 2\} = \{1\}$. $\text{Так как } \{1, 2\} \neq \{1\}, \text{ равенство неверно}$. ### Решение задания 3 На диаграмме закрашена вся область круга $B$ и часть круга $A$, которая не пересекается с кругом $C$. **Ответ:** $B \cup (A \setminus C)$