Найдите скалярное произведение векторов a и b, если

### 1. Скалярное произведение векторов Формула через длины и угол: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$. Формула через координаты: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$. **Задача 1 (левый столбец):** а) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(135^{\circ}) = 6 \cdot (-{\frac{\sqrt{2}}{2}}) = -3\sqrt{2}$. б) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-4) + (-3) \cdot 2 = -8 - 6 = -14$. **Задача 1 (правый столбец):** а) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 \cdot \cos(120^{\circ}) = 12 \cdot (-0.5) = -6$. б) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4) \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = -12 - 1 = -13$. ### 2. Косинус угла между векторами Формула: $\cos(\phi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. **Левый столбец:** $\vec{a}(7; 24), \vec{b}(7; 0)$. $|\vec{a}| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = 25$. $|\vec{b}| = \sqrt{7^2 + 0^2} = 7$. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot 7 + 24 \cdot 0 = 49$. $\cos(\phi) = \frac{49}{25 \cdot 7} = \frac{7}{25} = 0.28$. **Правый столбец:** $\vec{a}(0; -4), \vec{b}(20; -15)$. $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = 4$. $|\vec{b}| = \sqrt{20^2 + (-15)^2} = \sqrt{400 + 225} = 25$. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \cdot 20 + (-4) \cdot (-15) = 60$. $\cos(\phi) = \frac{60}{4 \cdot 25} = \frac{60}{100} = 0.6$. ### 3. Вычислите длины Формула: $|\vec{a} \pm \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \pm 2|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\phi)$. **Левый:** $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \phi=30^{\circ}$. $|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$. $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{2+\sqrt{3}}$. **Правый:** $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1, \phi=45^{\circ}$. $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}$. $|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{2-\sqrt{2}}$. ### 4. Докажите перпендикулярность Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0. **Левый:** $A(0;1), B(2;-1), C(4;1)$. $\vec{BA} = (0-2; 1-(-1)) = (-2; 2)$. $\vec{BC} = (4-2; 1-(-1)) = (2; 2)$. $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = -2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = -4 + 4 = 0$. (Верно, перпендикулярны) **Правый:** $A(0;1), B(2;3), C(-1;6)$. $\vec{BA} = (0-2; 1-3) = (-2; -2)$. $\vec{BC} = (-1-2; 6-3) = (-3; 3)$. $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = -2 \cdot (-3) + (-2) \cdot 3 = 6 - 6 = 0$. (Верно, перпендикулярны)