483 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Question

Вопрос:

483 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

### Решение задачи **Дано:** ABCD — параллелограмм. На диагонали BD отмечены точки P и Q так, что $PB = QD$. **Доказать:** APCQ — параллелограмм. **Доказательство:** 1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О, которая является серединой каждой из них. Значит, $BO = OD$ и $AO = OC$. 2. По условию $PB = QD$. 3. Рассмотрим отрезок BD. Так как $BO = OD$ и $PB = QD$, то отрезки $PO$ и $OQ$ равны. Действительно: $PO = BO - PB$ $OQ = OD - QD$ Так как $BO = OD$ и $PB = QD$, то $PO = OQ$. 4. Таким образом, в четырехугольнике APCQ диагонали AC и PQ пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам ($AO = OC$ и $PO = OQ$). 5. По признаку параллелограмма (если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм), APCQ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

483 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.

Ответ ассистента

Другие решения