Игральный кубик бросают дважды. При первом броске выпало больше очков, чем при втором. Какова вероятность того, что в сумме выпало 11 очков? Найдите sin α, если cos α = -9/41...

### Задание 9 1. **Определим общее количество равновероятных исходов.** При бросании двух кубиков всего $6 \cdot 6 = 36$ вариантов. 2. **Условие «при первом броске выпало больше очков, чем при втором».** Выпишем такие пары $(x; y)$, где $x > y$: - $x=2: (2;1)$ - $x=3: (3;1), (3;2)$ - $x=4: (4;1), (4;2), (4;3)$ - $x=5: (5;1), (5;2), (5;3), (5;4)$ - $x=6: (6;1), (6;2), (6;3), (6;4), (6;5)$ Итого: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ благоприятных исходов для этого условия. 3. **Условие «в сумме выпало 11 очков».** Из найденных выше 15 пар выберем те, где $x + y = 11$. Это только одна пара: $(6; 5)$. 4. **Вероятность** равна отношению количества нужных исходов к общему количеству исходов, удовлетворяющих первому условию: $P = \frac{1}{15}$. **Ответ:** 1/15 --- ### Задание 10 1. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. 2. Подставим значение косинуса: $\sin^2 \alpha + (-\frac{9}{41})^2 = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha + \frac{81}{1681} = 1$. 3. Вычислим $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1600}{1681}$. 4. Отсюда $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm \frac{40}{41}$. 5. Определим знак. Угол $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$ — это III четверть. В III четверти синус отрицательный. 6. Значит, $\sin \alpha = -\frac{40}{41}$. В десятичном виде это $-40 : 41 \approx -0,9756$ (обычно оставляют дробью). **Ответ:** -40/41 --- ### Задание 11 1. В правильном треугольнике расстояние от центра описанной окружности $O$ до стороны $AC$ — это апофема $OH$. В равностороннем треугольнике центр описанной и вписанной окружностей совпадают. $OH = r$ (радиус вписанной окружности). 2. Высота треугольника $h = R + r$. В правильном треугольнике $R = 2r$. Значит, $h = 3r = 3 \cdot 11\sqrt{3} = 33\sqrt{3}$. 3. Формула высоты через сторону $a$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. 4. Находим сторону: $33\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow a = 33 \cdot 2 = 66$. 5. Периметр $P = 3a = 3 \cdot 66 = 198$. **Ответ:** 198 --- ### Задание 12 1. Так как $SA \perp$ плоскости основания, то $SA$ перпендикулярна любой прямой в основании, значит $SA \perp AM$, $SA \perp BN$, $SA \perp CP$, $SA \perp AB$, $SA \perp AC$. 2. Треугольник $ABC$ правильный, $BN$ и $CP$ — медианы, а значит и высоты. То есть $BN \perp AC$ и $CP \perp AB$. 3. Рассмотрим пары: - 1) $SP$ и $SA$: не перпендикулярны (угол $\angle SAP$ острый). - 2) $BN$ и $NC$: так как $BN$ — высота к $AC$, то $BN \perp AC$, а $NC$ лежит на $AC$. Да, они перпендикулярны. - 3) $SA$ и $BN$: $SA$ перпендикулярна любой прямой в основании, включая $BN$. Да, они перпендикулярны. - 4) $SM$ и $BC$: $AM$ — медиана и высота ($AM \perp BC$). По теореме о трех перпендикулярах, если проекция $AM \perp BC$, то и наклонная $SM \perp BC$. Да, они перпендикулярны. - 5) $SM$ и $AM$: не перпендикулярны (образуют острый угол $\angle SMA$). **Ответ:** 234