Какие из углов, представленных на рисунке, равны?

### 1. Какие из углов равны? Ответ: а) $\angle GHF = \angle GEF$ (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $GF$, равны). ### 2. Центральный и вписанный углы Центральный угол равен дуге, на которую он опирается: $80^{\circ}$. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $80^{\circ} / 2 = 40^{\circ}$. Ответ: $80^{\circ}$, $40^{\circ}$. ### 3. Угол $ACD$ Вписанный четырехугольник $ABCD$ обладает свойством: сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$. $\angle ADC = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}$. В треугольнике $ACD$ сумма углов $180^{\circ}$: $\angle ACD = 180^{\circ} - (\angle CAD + \angle ADC) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 100^{\circ}) = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ}$. Ответ: $35^{\circ}$. ### 4. Средняя линия трапеции Дано: $\angle A = 90^{\circ}$, радиус вписанной окружности $r=12$ см. Высота трапеции $h = 2r = 24$ см. $CD = 38$ см. Пусть $AD$ — высота трапеции. В трапеции, в которую вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон: $AB + CD = BC + AD$. Опустим перпендикуляр $CH$ на $AB$. В $\triangle HBC$: $CH = 24$, $HB = AB - CD = AB - 38$. $BC = AB + CD - AD = AB + 38 - 24 = AB + 14$. По теореме Пифагора: $24^2 + (AB - 38)^2 = (AB + 14)^2$. $576 + AB^2 - 76AB + 1444 = AB^2 + 28AB + 196$. $1824 = 104AB \Rightarrow AB = 1824 / 104 = 228 / 13 \approx 17.54$ см. Средняя линия $m = (AB + CD) / 2 = (17.54 + 38) / 2 \approx 27.77$ см. ### 5. Радиус окружности $\triangle OBA$ — прямоугольный ($\angle B = 90^{\circ}$), так как касательная перпендикулярна радиусу. $OB^2 + AB^2 = OA^2$. $OB^2 + 12^2 = 13^2$. $OB^2 + 144 = 169$. $OB^2 = 25 \Rightarrow OB = 5$ см. Ответ: $5$ см. ### 6. Углы четырехугольника $1. \angle B = \angle ABD + \angle DBC = 42^{\circ} + 34^{\circ} = 76^{\circ}$. $2. \angle D = 180^{\circ} - \angle B = 104^{\circ}$. $\angle ADB = \angle D - \angle BDC = 104^{\circ} - 52^{\circ} = 52^{\circ}$. $3. \angle BAC = \angle BDC = 52^{\circ}$. $\angle CAD = \angle CBD = 34^{\circ}$. $\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 52^{\circ} + 34^{\circ} = 86^{\circ}$. $4. \angle ACD = \angle ABD = 42^{\circ}$. $\angle BCA = \angle BDA = 52^{\circ}$. $\angle C = \angle BCA + \angle ACD = 52^{\circ} + 42^{\circ} = 94^{\circ}$. Ответ: $\angle A = 86^{\circ}, \angle B = 76^{\circ}, \angle C = 94^{\circ}, \angle D = 104^{\circ}$.