1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а его медиана, проведенная к основанию, равна 5 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

Привет! Давай разберем задачи по очереди. ### 1. Равнобедренный треугольник Пусть $a = 13$ см (боковая сторона), $h = 5$ см (высота/медиана к основанию $b$). Высота делит основание пополам, образуя прямоугольный треугольник с катетами $h$ и $b/2$ и гипотенузой $a$. По теореме Пифагора: $(b/2)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ $b/2 = 12 \Rightarrow b = 24$ см. Периметр: $P = 13 + 13 + 24 = 50$ см. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = 60$ см$^2$. **Ответ: 50 см, 60 см$^2$.** ### 2. Ромб Диагонали $d_1 = 8$ см, $d_2 = 6$ см. Точка пересечения диагоналей делит их пополам, образуя 4 прямоугольных треугольника с катетами $4$ см и $3$ см. Сторона ромба $a$ — гипотенуза: $a = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см. Периметр: $P = 4 \cdot 5 = 20$ см. Площадь: $S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ см$^2$. **Ответ: 20 см, 24 см$^2$.** ### 3. Равнобедренная трапеция $ABCD$ — трапеция, $AC \perp CD$, $\angle CAD = 30^\circ$, $AD = 12$ см. В $\triangle ACD$ угол $\angle ACD = 90^\circ$. Тогда: $CD = AD \cdot \sin(30^\circ) = 12 \cdot 0.5 = 6$ см. $AC = AD \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Высота $h$ трапеции из вершины $C$ на $AD$: $h = CD \cdot \sin(\angle D) = CD \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Средняя линия $m = AD - CD \cdot \cos(60^\circ) = 12 - 6 \cdot 0.5 = 9$ см. Площадь: $S = m \cdot h = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: $27\sqrt{3}$ см$^2$.** ### 4. Хорды окружности По свойству пересекающихся хорд: $AM \cdot MB = CM \cdot MD$. Пусть $CM = x$, тогда $MD = 23 - x$. $12 \cdot 10 = x(23 - x) \Rightarrow 120 = 23x - x^2 \Rightarrow x^2 - 23x + 120 = 0$. Дискриминант $D = 23^2 - 4 \cdot 120 = 529 - 480 = 49$. $x_1 = \frac{23 - 7}{2} = 8$, $x_2 = \frac{23 + 7}{2} = 15$. Длины отрезков: 8 см и 15 см. **Ответ: 8 см и 15 см.** ### 5. Правильный шестиугольник Прямоугольный треугольник с катетами 4 и 4 вписан в окружность. Гипотенуза равна диаметру окружности $D$: $D = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. Радиус $R = 2\sqrt{2}$. Сторона описанного правильного шестиугольника $a_6 = R = 2\sqrt{2}$. Площадь правильного шестиугольника: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a_6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2\sqrt{2})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 12\sqrt{3}$ см$^2$. **Ответ: $12\sqrt{3}$ см$^2$.**