1. MN и MK — отрезки касательных, проведенные к окружности радиусом 5 см. Найдите MN и MK, если MO = 13 см.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Это классика на свойства окружностей, касательных и хорд. ### Задача 1 Пусть $O$ — центр окружности, $R = 5$ см. $MN$ и $MK$ — отрезки касательных из точки $M$, значит, $ON \perp MN$ и $OK \perp MK$ (радиусы перпендикулярны касательным). В прямоугольных треугольниках $\triangle ONM$ и $\triangle OKM$ (где $OM$ — общая гипотенуза), $MN = MK$. По теореме Пифагора для $\triangle ONM$: $MN = \sqrt{OM^2 - ON^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. **Ответ:** $MN = MK = 12$ см. ### Задача 2 Дано отношение дуг $\cup AB : \cup AC = 5 : 3$. Пусть $\cup AB = 5x$, а $\cup AC = 3x$. На рисунке 8.179 мы видим, что вписанный угол $\angle BAC = 60^\circ$. По свойству вписанного угла, он равен половине дуги, на которую опирается: $\angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC$, значит, $\cup BC = 120^\circ$. Сумма дуг окружности равна $360^\circ$: $\cup AB + \cup AC + \cup BC = 360^\circ$. $5x + 3x + 120 = 360 \implies 8x = 240 \implies x = 30$. Тогда $\cup AB = 150^\circ$, $\cup AC = 90^\circ$. - $\angle BOC$ — центральный угол, он равен своей дуге: $\angle BOC = \cup BC = 120^\circ$. - $\angle ABC$ — вписанный угол, опирается на дугу $AC$: $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. **Ответ:** $\angle BOC = 120^\circ$, $\angle ABC = 45^\circ$. ### Задача 3 Свойство пересекающихся хорд гласит: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. $AF \cdot BF = CF \cdot DF$. Так как $CF = DF$, обозначим $CF = DF = x$. Тогда $CF \cdot DF = x^2$. $4 \cdot 16 = x^2 \implies x^2 = 64 \implies x = 8$. $CD = CF + DF = 8 + 8 = 16$ см. **Ответ:** $CD = 16$ см. ### Задача 4 Окружность радиусом $R = 12$ см описана около $\triangle MNK$. Центр $O$. Сторона $MN$ является хордой. Угол $\angle MON = 120^\circ$ — центральный. Проведем радиусы к вершинам $M$ и $N$, образуется равнобедренный $\triangle MON$ ($OM=ON=12$). Проведем высоту $OH$ к $MN$. Она делит угол $MON$ пополам ($60^\circ$) и $MN$ пополам. $MN = 2 \cdot OM \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$ см. Аналогично для $\triangle NOK$ ($\angle NOK = 90^\circ$): это прямоугольный равнобедренный треугольник. $NK = \sqrt{ON^2 + OK^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = 12\sqrt{2}$ см. **Ответ:** $MN = 12\sqrt{3}$ см, $NK = 12\sqrt{2}$ см.