На рисунке 64 точка O — центр окружности. ∠MON = 68°. Найдите угол MKN.

### Решение контрольной работы **Задача 1** Дано: $\angle MON = 68^\circ$ (центральный угол). Нужно найти вписанный угол $\angle MKN$, опирающийся на ту же дугу $MN$. По теореме о вписанном угле, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle MKN = \frac{1}{2} \angle MON = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$. **Ответ: 34°** --- **Задача 2** Дано: $OB = 10$ см, $\angle ABO = 30^\circ$. $AB$ — касательная, значит, радиус $OA$ перпендикулярен касательной ($OA \perp AB$). В прямоугольном треугольнике $\triangle OAB$ ($\angle A = 90^\circ$): Катет $OA$ (радиус) лежит против угла $30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет против угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы: $OA = \frac{1}{2} OB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. **Ответ: 5 см** --- **Задача 3** Дано: $MN$ — диаметр, $NF = NK$. Доказать: $\angle MNK = \angle MNF$. Рассмотрим треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle MNF$: 1. $NF = NK$ (по условию). 2. $MN$ — общая сторона (диаметр). 3. Углы $\angle MKN$ и $\angle MFN$ равны $90^\circ$, так как они вписанные и опираются на диаметр $MN$. Следовательно, треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle MNF$ равны по гипотенузе и катету. В равных треугольниках соответствующие углы равны, значит, $\angle MNK = \angle MNF$. Что и требовалось доказать.