Реши систему логарифмических уравнений

Решим систему уравнений: $\begin{cases} \lg(x^2 + y^2) = 2 - \lg 5 \\ \lg(x + y) + \lg(x - y) = \lg 12 \end{cases}$ **1. ОДЗ:** Выражения под знаком логарифма должны быть положительными: $x^2 + y^2 > 0$ $x + y > 0$ $x - y > 0$ Из последних двух следует, что $x > |y|$. **2. Упрощение уравнений:** Преобразуем первое уравнение: $\lg(x^2 + y^2) = \lg 100 - \lg 5 = \lg(\frac{100}{5}) = \lg 20$ $x^2 + y^2 = 20$ Преобразуем второе уравнение: $\lg((x + y)(x - y)) = \lg 12$ $\lg(x^2 - y^2) = \lg 12$ $x^2 - y^2 = 12$ **3. Решение системы:** Сложим и вычтем полученные уравнения: 1) $(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 20 + 12 \Rightarrow 2x^2 = 32 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$ Так как $x+y > 0$ и $x-y > 0$, то $x$ должен быть положительным, значит $x = 4$. 2) $(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 20 - 12 \Rightarrow 2y^2 = 8 \Rightarrow y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$ Проверим условия ОДЗ для пар: - Если $x=4, y=2$: $x+y = 6 > 0$ (верно), $x-y = 2 > 0$ (верно). - Если $x=4, y=-2$: $x+y = 2 > 0$ (верно), $x-y = 6 > 0$ (верно). **Ответ:** (4; 2), (4; -2).