Решение геометрических задач на свойства прямоугольных и равнобедренных треугольников.

Допущение: в задачах 2, 3 и 4 треугольники являются прямоугольными (на основе стандартных школьных заданий с такими чертежами). **Задача 2:** Предполагаем, что $\triangle PRQ$ прямоугольный ($\angle R = 90^\circ$). Так как $\angle P = 60^\circ$, то $\angle Q = 30^\circ$. Высота $RS = 9$. В $\triangle PRS$: $PS = RS / \tan(60^\circ) = 9 / \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, обладает свойством: $RS^2 = PS \cdot SQ$. $9^2 = 3\sqrt{3} \cdot SQ$ $81 = 3\sqrt{3} \cdot SQ$ $SQ = 27 / \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$. **Задача 3:** Дано: $QM = RM$ (треугольник равнобедренный), $MS \perp QR$. 1. Так как $MS$ — высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, она также является биссектрисой. 2. $\angle QMS = 20^\circ \implies \angle QMR = 20^\circ \cdot 2 = 40^\circ$. 3. Углы при основании: $\angle MQR = \angle MRQ = (180^\circ - 40^\circ) / 2 = 70^\circ$. Так как $S$ лежит на $QR$, искомый угол $\angle QRS$ совпадает с $\angle MRQ = 70^\circ$. **Ответ:** $\angle QRS = 70^\circ$. **Задача 4:** В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$) угол $\angle A = 30^\circ$. Катет, лежащий против угла $30^\circ$ ($BC$), равен половине гипотенузы ($AB$): $BC = 0,5 \cdot AB$. Составим уравнение: $AB + 0,5 \cdot AB = 63$. $1,5 \cdot AB = 63$. $AB = 63 / 1,5 = 42$. $BC = 42 / 2 = 21$. **Ответ:** $AB = 42$, $BC = 21$.