На рисунке точка M является серединой отрезков AC и BD. Докажите, что прямые BC и AD параллельны.

Давай разберем задачи из "Части 3". **Задача 5** * **Условие:** На рисунке точка $M$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$. Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны. * **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AMD$. 2. По условию $M$ — середина $AC$, значит $AM = MC$. 3. По условию $M$ — середина $BD$, значит $BM = MD$. 4. Углы $\angle BMC$ и $\angle AMD$ равны как вертикальные. 5. Следовательно, треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AMD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 6. Из равенства треугольников следует, что $\angle BCM = \angle DAM$. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Что и требовалось доказать. **Задача 6*** * **Условие:** На биссектрисе $BK$ равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ отмечена точка $F$, на отрезке $AK$ — точка $D$ и на отрезке $CK$ — точка $E$, причем $EK = DK$. Найдите $\angle ADF$, если $\angle DFE = 100^\circ$. * **Решение:** 1. Так как $BK$ — биссектриса равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$), проведенная к основанию, то она также является медианой и высотой ($BK \perp AC$). Следовательно, $AK = KC$. 2. Рассмотрим треугольники $\triangle DFK$ и $\triangle EFK$. 3. По условию $EK = DK$. Сторона $FK$ общая. Угол $\angle DKF = \angle EKF = 90^\circ$ (так как $BK$ — высота). 4. Значит, $\triangle DFK = \triangle EFK$ по двум сторонам и углу между ними. 5. Из равенства треугольников следует, что $DF = EF$, то есть $\triangle DFE$ — равнобедренный с основанием $DE$. 6. В равнобедренном треугольнике $DFE$ угол $\angle FDE = \angle FED = (180^\circ - 100^\circ) / 2 = 40^\circ$. 7. Угол $\angle ADF$ и угол $\angle FDK$ — смежные, но здесь проще заметить, что точка $D$ лежит на $AK$, а $BK \perp AK$. Значит, $\triangle DFK$ — прямоугольный ($ \angle FKD = 90^\circ$). 8. $\angle FDK = 90^\circ - \angle KFD = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$. 9. Искомый угол $\angle ADF$ — это угол $180^\circ - \angle FDK = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$ (если $D$ лежит на луче $AK$). **Ответ: 140°**