1. Найдите угол, смежный с углом 138°.

### Часть 1 1. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Угол, смежный с $138^\circ$, равен: $180^\circ - 138^\circ = 42^\circ$. 2. Углы AOB и DOC — вертикальные. Вертикальные углы равны. Следовательно, $\angle DOC = \angle AOB = 37^\circ$. 3. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Так как треугольник равнобедренный, его боковые стороны равны (7 см). Периметр: $P = 7 + 7 + 9 = 23$ см. 4. Прямые $a$ и $b$ параллельны. На рисунке 2 при секущей образованы соответственные углы, которые равны $47^\circ$. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 5. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Третий угол: $180^\circ - (53^\circ + 62^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. 6. По неравенству треугольника, каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Здесь $3 + 9 = 12$, что меньше 14. Неравенство $14 < 12$ ложно. Такой треугольник не существует. 7. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы. $\angle A = 30^\circ$, значит катет $BC = AB / 2 = 16 / 2 = 8$ см. ### Часть 2 1. Рассмотрим $\triangle ABF$ и $\triangle ADF$: - $AB = AD$ (по условию); - $AF$ — общая сторона; - $\angle BAF = \angle DAF$ (по условию). Значит, треугольники равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 2. Пусть одна часть равна $x$. Тогда углы равны $2x, 3x, 4x$. Их сумма $180^\circ$: $2x + 3x + 4x = 180^\circ \Rightarrow 9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ$. Углы: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ, 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ, 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$. 3. $\angle 1$ и $\angle 2$ — соответственные углы, $\angle 1 = \angle 2$. Значит, прямые $a \parallel b$. Тогда $\angle 3$ и $\angle 4$ — внутренние односторонние при параллельных прямых, их сумма $180^\circ$. $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$. Пусть $\angle 3 = x$, тогда $\angle 4 = 4x$. $x + 4x = 180^\circ \Rightarrow 5x = 180^\circ \Rightarrow x = 36^\circ$. Значит, $\angle 3 = 36^\circ$, а $\angle 4 = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$. 4. В прямоугольном $\triangle AMC$ ($\angle AMC = 90^\circ$): $\cos A = AM / AC = 1 / 2$. Угол $A = 60^\circ$. В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$): $\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.