№4. $\Delta PKT$ — равнобедренный, в него вписана окружность, $PK = PT$. 1) $PH = 4,5$ см, $TH = 2,5$ см. Найдите $P_{\Delta PKT}$. 2) $P_{\Delta PKT} = 20$ см, $PH = 6$ см. Найдите длину основания $KT$.

### Решение задачи №4 Дано: $\Delta PKT$ — равнобедренный, $PK = PT$, $O$ — центр вписанной окружности. 1) Дано $PH = 4,5$ см, $TH = 2,5$ см. Так как $PK = PT$, то $PH$ — это половина основания $KT$ (вернее, здесь $H$ — точка касания на боковой стороне, но по свойству касательных, проведенных из одной точки, отрезки равны). Однако, глядя на рисунок, $H$ — это точка касания на боковой стороне $PT$. Отрезки касательных из одной точки равны: $PH = PK_{кас}$ (пусть $K_{кас}$ - точка касания на $PK$), $TH = TK_{кас}$ (точка касания на $KT$). В равнобедренном треугольнике $PH$ — это отрезок касательной от вершины $P$ до точки касания на $PT$. Значит, $PK = PH + HK_{кас}$. По свойству касательных: $PK = PH + TH$. $PK = 4,5 + 2,5 = 7$ см. Так как $PT = PK = 7$ см. $KT = TH + TH = 2,5 + 2,5 = 5$ см. Периметр $P_{\Delta PKT} = PK + PT + KT = 7 + 7 + 5 = 19$ см. 2) Дано $P_{\Delta PKT} = 20$ см, $PH = 6$ см. Пусть $KT = x$ (основание). Тогда $TH = x/2 = 0,5x$. $PK = PH + TH = 6 + 0,5x$. Периметр: $2 \cdot (6 + 0,5x) + x = 20$. $12 + x + x = 20$. $2x = 8$. $x = 4$. Длина основания $KT = 4$ см. ### Решение задачи №5 Дано: $\Delta ABC$ — прямоугольный, вписанная окружность, гипотенуза $AC$ разбивается точкой касания на отрезки $7$ и $4$ (исходя из рисунка, отрезки касательных от вершины $C$ равны $4$, от вершины $A$ равны $7$). Гипотенуза $c = 7 + 4 = 11$. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности $r = \frac{a+b-c}{2}$. Площадь треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot (7+r) \cdot (4+r) = r \cdot s$ (где $s$ - полупериметр). Существует формула: $r = \frac{a+b-c}{2}$. Но проще через отрезки касательных: катеты равны $(7+r)$ и $(4+r)$. По теореме Пифагора: $(7+r)^2 + (4+r)^2 = 11^2$. $49 + 14r + r^2 + 16 + 8r + r^2 = 121$. $2r^2 + 22r + 65 = 121$. $2r^2 + 22r - 56 = 0$. $r^2 + 11r - 28 = 0$. Дискриминант $D = 121 - 4 \cdot (-28) = 121 + 112 = 233$. $r = \frac{-11 + \sqrt{233}}{2} \approx 3,13$ см.