№4. ΔРКТ – равнобедренный, в него вписана окружность, РК = РТ. 1) РН = 4,5 см, ТН = 2,5 см. Найдите Р_ΔРКТ. 2) Р_ΔРКТ = 20 см, РН = 6 см. Найдите длину основания КТ.

### Решение задачи №4 Дано: $\triangle РКТ$ — равнобедренный, $PK = PT$. Вписана окружность с центром $O$. $PH = 4,5$ см, $TH = 2,5$ см (H — точка касания на $PT$). 1) Найдем периметр $\triangle РКТ$ ($P_{\triangle РКТ}$). Так как $PK = PT$ и $PH = 4,5$ см, $TH = 2,5$ см, то $PT = PK = 4,5 + 2,5 = 7$ см. Точки касания на сторонах равнобедренного треугольника делят стороны так, что отрезки от вершины до них равны. Если $H$ — точка касания на $PT$, то $PH = 4,5$ см. Следовательно, от вершины $P$ до других точек касания отрезки тоже равны 4,5 см. От вершин $K$ и $T$ до точек касания на основании $KT$ отрезки равны $TH = 2,5$ см. Тогда основание $KT = 2,5 + 2,5 = 5$ см. Периметр: $P = 7 + 7 + 5 = 19$ см. 2) Дано: $P_{\triangle РКТ} = 20$ см, $RH = 6$ см (вероятно, опечатка в условии, обозначим отрезок касательной от вершины как $x$). Если $P_{\triangle РКТ} = 20$, то $2 imes (x + y) = 20$, где $x$ — отрезок от вершины $P$, $y$ — отрезок от основания. Здесь $RH$ не совсем понятно что значит, предположим, что это длина отрезка касательной $PH$. Если $PH = 6$, то боковая сторона $x + y$, но нам не хватает данных для однозначного ответа без уточнения, что такое $RH$. Если предположить, что $PH=6$ и основание $KT$ нам неизвестно, то задача не имеет однозначного решения. ### Решение задачи №5 Дано: $\triangle АВС$ — прямоугольный ($\angle B = 90^\circ$), периметр $P = 26$ см. Отрезки касательных от вершины $C$ равны 4, от вершины $A$ равны 7. Радиус вписанной окружности $r$ прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a, b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Или через отрезки касательных. Отрезки касательных от вершин к окружности равны. Пусть $x$ — радиус (отрезки до сторон тоже равны $x$). Катеты: $4 + x$ и $7 + x$. Гипотенуза: $4 + 7 = 11$. Периметр: $(4 + x) + (7 + x) + 11 = 26$. $22 + 2x = 26$ $2x = 4$ $x = 2$ см. **Ответ: 1) 19 см; 2) Недостаточно данных; 5) 2 см.**