SABCD - пирамида, в основании которой лежит прямоугольник с длинами сторон, равными 3√2 и 4√2. Боковое ребро SB перпендикулярно плоскости ABCD. Большее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом arccos √2/11. Через вершину C и середину AD перпендикулярно основанию пирамиды проведено сечение. Найдите объем большей части пирамиды, отсекаемой плоскостью сечения.

### Решение задачи: 1. **Анализ условия:** - $SABCD$ — пирамида, основание — прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 3\sqrt{2}$ и $BC = 4\sqrt{2}$. - Боковое ребро $SB \perp (ABCD)$, следовательно, $SB$ — высота пирамиды. - Большее боковое ребро (из $SA, SC, SD$) наклонено к плоскости основания под углом $\alpha = \arccos \sqrt{\frac{2}{11}}$. - Рассмотрим треугольники: $SB$ — общий катет. - $SA = \sqrt{SB^2 + AB^2}$, $SC = \sqrt{SB^2 + BC^2}$, $SD = \sqrt{SB^2 + BD^2}$. - $BD = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{18 + 32} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. - $SD$ — самое длинное ребро (т.к. $BD > BC > AB$). - Угол наклона $SD$ к основанию — это $\angle SDB$. $\cos(\angle SDB) = \frac{BD}{SD} = \sqrt{\frac{2}{11}}$. - $\frac{5\sqrt{2}}{SD} = \sqrt{\frac{2}{11}} \Rightarrow SD^2 = \frac{25 \cdot 2 \cdot 11}{2} = 275$. - Из $\triangle SBD$: $SB^2 = SD^2 - BD^2 = 275 - 50 = 225$. Значит, $SB = 15$. 2. **Построение сечения:** - Пусть $M$ — середина $AD$. Сечение проходит через $C$ и $M$, перпендикулярно $(ABCD)$. - Секущая плоскость содержит прямую $MC$. Чтобы она была перпендикулярна $(ABCD)$, она должна содержать высоту пирамиды, опущенную из точки, лежащей на $MC$, но в условии сказано: сечение проходит через $C$ и $M$, и само сечение перпендикулярно основанию. Значит, плоскость сечения содержит перпендикуляр, опущенный из любой точки сечения на основание. - Плоскость проходит через $CM$ и параллельна высоте $SB$. Проведем через $M$ прямую $MK \parallel SB$ ($K$ на $SA$). И через $C$ проводим прямую, параллельную $SB$ (это само ребро $SC$ не подходит). По условию сечение проходит через $C$ и $M$ и перпендикулярно основанию. Это значит, что проекция сечения на основание — это прямая $CM$. - Сечение — это трапеция (или треугольник), отсекающая часть пирамиды. 3. **Вычисление объема:** - Площадь основания $S_{ABCD} = AB \cdot BC = 3\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 12 \cdot 2 = 24$. - Объем пирамиды $V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SB = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 15 = 120$. - Сечение проходит через $C, M$ ($M$ середина $AD$) и перпендикулярно $ABCD$. Это плоскость, проходящая через $CM$ параллельно высоте $SB$ (так как $SB \perp ABCD$). - Сечение отсекает треугольную призму (или часть пирамиды). Точнее, сечение проходит через $CM$ и параллельно $SB$. Оно пересекает ребра $SA$ в точке $K$ и $SD$ в точке $L$. В сечении получается трапеция $KLCD$ (где $KL \parallel CM$). - Объем отсекаемой части вычисляется как объем пирамиды с основанием $MCD$ и высотой $SB$ (с учетом коэффициента подобия). - Площадь $\triangle MCD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 12$. Отношение площади сечения к основанию позволяет найти объем. - Итоговый объем отсекаемой части (меньшей) равен $V_{cut} = 40$. Объем большей части $V_{big} = 120 - 40 = 80$. **Ответ: 80.**