№ 1 Найдите значение выражения

### № 1 a) $(\sqrt{2} - 12\sqrt{5})(12\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{2} - 12\sqrt{5})(\sqrt{2} + 12\sqrt{5}) = (\sqrt{2})^2 - (12\sqrt{5})^2 = 2 - 144 \cdot 5 = 2 - 720 = -718$. б) $\sqrt[3]{\sqrt{15625}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{0,000001}} = \sqrt[6]{15625} \cdot \sqrt[6]{0,000001} = \sqrt[6]{15625 \cdot 0,000001} = \sqrt[6]{0,015625} = 0,5$. в) $\left(\frac{5^{1/2} \cdot 5^{1/3}}{\sqrt[6]{5}}\right)^3 = \left(\frac{5^{1/2 + 1/3}}{5^{1/6}}\right)^3 = \left(\frac{5^{5/6}}{5^{1/6}}\right)^3 = (5^{5/6 - 1/6})^3 = (5^{4/6})^3 = (5^{2/3})^3 = 5^2 = 25$. г) $2 \text{ctg } 37^\circ \cdot \text{ctg } 127^\circ = 2 \text{ctg } 37^\circ \cdot \text{ctg } (90^\circ + 37^\circ) = 2 \text{ctg } 37^\circ \cdot (-\text{tg } 37^\circ) = -2 \cdot \text{ctg } 37^\circ \cdot \text{tg } 37^\circ = -2 \cdot 1 = -2$. ### № 2 a) $\sqrt{12+2x} = 12-2x$. Возведем обе части в квадрат: $12+2x = 144 - 48x + 4x^2$. Перенесем всё в одну сторону: $4x^2 - 50x + 132 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 25x + 66 = 0$. Дискриминант $D = 625 - 4 \cdot 2 \cdot 66 = 625 - 528 = 97$. Корни $x = \frac{25 \pm \sqrt{97}}{4}$. Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют ОДЗ $12-2x \ge 0 \Rightarrow x \le 6$. Приблизительно $x_1 \approx 8,7$ (не подходит) и $x_2 \approx 3,7$ (подходит). Точный корень $x = \frac{25 - \sqrt{97}}{4}$. б) $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = -1 \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$. в) $\cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 0 \Rightarrow 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{6} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$. ### № 3 Вероятность успеха $p=0,8$, неудачи $q=1-0,8=0,2$. Нужно 5 успехов подряд и 1 неудача: $P = 0,8^5 \cdot 0,2 = 0,32768 \cdot 0,2 = 0,065536$. Округляя до десятых: **0,1**. ### № 4 Основание — ромб. Площадь ромба $S_{осн} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{9 \cdot 40}{2} = 180$. Сторона ромба $a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{4,5^2 + 20^2} = \sqrt{20,25 + 400} = \sqrt{420,25} = 20,5$. Периметр $P = 4a = 4 \cdot 20,5 = 82$. Боковая поверхность $S_{бок} = P \cdot h = 82 \cdot 55 = 4510$. Полная поверхность $S = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 180 + 4510 = 360 + 4510 = 4870$. ### № 5 1) $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - 0,6^2 = 1 - 0,36 = 0,64$. Так как $\pi < \alpha < 2\pi$ (III и IV четверти), синус отрицателен: $\sin \alpha = -0,8$. 2) $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{5}{\sqrt{26}})^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$. Учитывая $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть), косинус отрицателен: $\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}}$. Тогда $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-5/\sqrt{26}}{-1/\sqrt{26}} = 5$.